正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

二、正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用A.基础梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．B.方法与要点1、一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由特殊点确定．2、一个区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3、两个注意作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时先作一个周期的图象，再由周期性作整个函数的图象．C.双基自测1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin()2x－π4的振幅、频率和初相分别为()．A．2，1π，－π4B．2，12π，－π4C．2，1π，－π8D．2，12π，－π82.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)()|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝π3C．T＝6，φ＝π6D．T＝6，φ＝π33．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为()．A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx4．设ω＞0，函数y＝sin()ωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()．A.23B.43C.32D．35．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.D.考点解析考点一函数)sin(xAy的图象题型1：给出函数作图象【例1－1】►设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且fπ4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[审题视点](1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．【训练1－1】已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？题型2：给出图象求函数【例1－2】►（1）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．（2）（07年江西卷）如图，函数π2cos()(0)2yxxR，≤≤的图象与y轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；（2）已知点A），（02，点P是该函数图象上的一点，点Q),00yx（是PA的中点，当),2[,230xy时，求0x的值。【训练1－2】1、（05年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A）sin6yx（B）sin26yx（C）cos43yx（D）cos26yx2、（2005天津卷文）函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为（A）)48sin(4xy（B）)48sin(4xy（C）)48sin(4xy（D）)48sin(4xy3、（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）（0,-）的图像如图所示，则=________________.4、（2009辽宁卷理）已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f=（A）23(B)23(C)－12(D)1221世纪教育网考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换题型1：给定原函数)(xf和变换过程求变换后的函数【例2－1】►（1）（2009全国卷Ⅱ理）若将函数tan04yx的图像向右平移6个单位长度后，与函数tan6yx的图像重合，则的最小值为A．16B.14C.13D.12【例2－1】►（2）函数y=cosx的图象向左平移3个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为()(A)y=3cos(12x+3)(B)y=3cos(2x+3)(C)y=3cos(2x+23)(D)y=13cos(12x+6)（3）若改为：“把函数y=cosx的图象先横坐标缩小到原来的12，再向左平移3个单位”其他不变呢？注意先后顺序：若先平移再左右伸缩，则)()(bxfxfb左右平移a左右伸缩)1(bxaf；若先左右伸缩再平移，则baxafxf左右平移左右伸缩)1()()](1[bxaf【训练2－1】（1）(2012年高考浙江卷理科4)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是y1o-1243x（2）先将函数y＝f（x）的图象向右移6个单位，再将所得的图象作关于直线x＝4的对称变换，得到)32sin(xy的函数图象，则f（x）的解析式是（）A、)32sin(xyB、)32sin(xyC、)32sin(xyD、)32sin(xy（3）把函数y=sin(2x+4)的图象向右平移8个单位,再将横坐标缩小为原来的21,则其解析式为.题型2：给定变换前后函数求变换过程【例2－2】►（1）)23sin()(xxf其图象可以由y=sinx的图象经过怎样的变换得到?【例2－2】►（2）（05年天津卷）要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的（C）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8个单位长度【训练2－2】（1）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A、向左平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向右平移个单位2）将)32sin(xy的图象变为)33sin(xy，其变换方法是______________________（3）已知函数()sin()(,0)4fxxxR的最小正周期为，为了得到函数()cosgxx的图象，只要将()yfx的图象A．向左平移8个单位长度B．向右平移8个单位长度C．向左平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度（4）有下列四种变换方式:①向左平移4，再将横坐标变为原来的21；②横坐标变为原来的21，再向左平移8；③横坐标变为原来的21，再向左平移4；④向左平移8，再将横坐标变为原来的21；其中能将正弦曲线xysin的图像变为)42sin(xy的图像的是（）A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④（5、）写出函数y=4sin2x(x∈R)的图像可以由函数y=cosx通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)考点三三角函数模型的简单应用【例3】►一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式.【训练3】设()yft是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中024t,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数()yft的图象可以近似地看成函数sin()ykAt的图象.根据上述数据，函数()yft的解析式为（）A．123sin,[0,24]6tytB．123sin(),[0,24]6tytC．123sin,[0,24]12tytD．123sin(),[0,24]122tyt2m8mhP