万有引力定律及应用

第4讲万有引力定律及应用一、开普勒三定律的内容、公式定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量自测1(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案B解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律.二、万有引力定律1.内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.2.表达式F＝Gm1m2r2，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.4.天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.(2)基本公式：GMmr2＝ma＝mv2r→v＝GMrmrω2→ω＝GMr3mr2πT2→T＝2πr3GMmvω自测2我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km，“神舟八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则()A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大答案B解析航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得GMmr2＝mv2r＝mrω2＝mr2πT2＝ma，解得v＝GMr，T＝4π2r3GM，ω＝GMr3，a＝GMr2，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B正确.三、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度.(4)第一宇宙速度的计算方法.由GMmR2＝mv2R得v＝GMR；由mg＝mv2R得v＝gR.2.第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2km/s.3.第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s.自测3教材P48第3题金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？答案8.9m/s27.3km/s解析根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg＝GMmR2故g金g地＝M金M地·(R地R金)2金星表面的自由落体加速度g金＝g地×0.82×(10.95)2m/s2≈8.9m/s2由万有引力充当向心力知GMmR2＝mv2R得v＝GMR所以v金v地＝M金M地·R地R金＝0.82×10.95≈0.93v金＝0.93×7.9km/s≈7.3km/s.命题点一开普勒三定律的理解和应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.3.开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.例1(多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()图1A.从P到M所用的时间等于T04B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大C.从P到Q阶段，速率逐渐变小D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案CD解析由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为12T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于14T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确.变式1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案C解析由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误.根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D错误.变式2(多选)如图2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则()图2A.T卫T月B.T卫T月C.T卫T地D.T卫＝T地答案AC解析设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r卫、r同和r月，因r月r同r卫，由开普勒第三定律r3T2＝k，可知，T月T同T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月T地T卫，选项A、C正确.变式3如图3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点.下列说法中正确的是()图3A.卫星在A点的角速度大于B点的角速度B.卫星在A点的加速度小于B点的加速度C.卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加D.卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大答案B解析由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝θt知，卫星在A点的角速度小于B点的角速度，选项A错误；设卫星的质量为m，地球的质量为M，卫星的轨道半径为r，由万有引力定律得GmMr2＝ma，解得a＝GMr2，由此可知，r越大，加速度越小，故卫星在A点的加速度小于B点的加速度，选项B正确；卫星由A运动到B的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C错误；卫星由A运动到B的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D错误.命题点二万有引力定律的理解1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向.(1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2R.(2)在两极上：GMmR2＝mg0.(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和.越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg.2.星球上空的重力加速度g′星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得g′＝GMR＋h2.所以gg′＝R＋h2R2.3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.(2)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝GM′mr2.例2如图4所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度()图4A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大答案D解析设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·ρ·43πr3·mr2＝43πGρmr，此处的重力加速度a＝Fm＝43πGρr，故选项D正确.例3由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二.若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为()A.R－dR＋hB.R－d2R＋h2C.R－dR＋h2R3D.R－dR＋hR2答案C解析令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝GMR2.由于地球的质量为：M＝ρ·43πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝GMR2＝G·ρ43πR3R2＝43πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝43πGρ(R－d)，所以有g′g＝R－dR.根据万有引力提供向心力GMmR＋h2＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝GMR＋h2，所以ag＝R2R＋h2，g′a＝R－dR＋h2R3，故C正确，A、B、D错误.变式4“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0B.GMR＋h2C.GMmR＋h2D.GMh2答案B命题点三天体质量和密度的估算天体质量和密度常用的估算方法使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGMmr2＝mr4π2T2M＝4π2r3GT2只能得到中心天体的质量r、vGMmr2＝mv2rM＝rv2Gv、TGMmr2＝mv2rGMmr2＝mr4π2T2M＝v3T2πG利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝gR2G密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mr4π2T2M＝ρ·43πR3ρ＝3πr3GT2R3当r＝R时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝ρ·43πR3ρ＝3g4πGR例4假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.3πg0－gGT2g0B.3πg0GT2g0－gC.3πGT2D.3πg0GT2g答案B解析物体在地球的两极时，mg0＝GMmR2，物体在赤道上时，mg＋m(2πT)2R＝GMmR2，又M＝43πR3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝3πg0GT2g0－g，故选项B正确，选项A、C、D错误.变式5观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示.已知引力常量为G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为()图5A.2πl3Gθt2B.l3Gθt2C.l3θGt2D.lGθt2答案B解析“嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为：v＝lt，角速度为ω＝θt；根据线速度和角速度的关系式：v＝ωr，可得其轨道半径r＝v