2等精度测量的随机误差

1误差理论与数据处理第2章等精度测量的随机误差华中科技大学机械学院201122.0概述2.1正态分布的特征2.2随机误差的数字特征2.3随机误差的正态分布曲线2.4单次测量的精度指标2.5多次重复测量结果的精度指标2.6几种常用的非正态分布2等精度测量的随机误差本章主要内容3等精度测量2.0概述若在多次重复测量中，每一个测得值都是在相同的测量条件下获得的，这样，各测得值就具有相同的精度，可用同一标准差来表征，或者说具有相同的可信赖程度。随机误差的特点误差的大小和符合是不能预先知道的；当测量次数增大，这类误差却又具有统计的规律性，测量次数愈多，这种规律就表现得愈明显。分布规律分布规律：正态分布；均匀分布；三角分布等。012344(1)在一定的测量条件下（指一定的计量器具、环境、被测对象和人员），随机误差的绝对值不会超过一定的界限；2.1正态分布的特征随机误差公理(2)小误差出现的机会比大误差出现的机会要多；推论(3)测量次数n很大时，绝对值相等、符号相反的随机误差出现的机会相等。(1)随机误差的分布是有界限（有界性）；(2)随机误差的分布呈单一峰值（单峰性）；(3)测量次数n趋于无穷大，随机误差的分布呈对称性（对称性）；(4)对同一量进行等精度测量，随着测量次数n趋于无穷大，随机误差的算术平均值将趋于零（相消性）。5用于描述随机误差分布特征的数值叫随机误差的数字特征。随机误差的数字特征主要参数描述特征算术平均值随机误差的分布中心标准差分散性2.2随机误差的数字特征随机误差的数字特征:(2)标准差。(1)算术平均值；6一算术平均值对真值为的物理量进行等精度的n次测量，得n个测得值，它们都含有误差，统称真差。0xnxxx,,,21n,,,21通常，我们是以算术平均值作为n次测量的结果，即xnxxxxnxin)(1210022011xxxxxxnn2.2随机误差的数字特征iixnx0因有得到所以nnxxxxxx02201107同时可得：nxxi0nCxmCnxmxiiii)(式中，是测量值重复出现的个数，总测量次数；为任意常数。kmmm,,,21kxxx,,,21imnC2.2随机误差的数字特征实际测量时，n总是有限的，所以，算术平均值不可能等于真值。但算术平均值围绕真值随机变化，算术平均值是真值的无偏差估计量。上式中的真值差即为随机误差，当时，算术平均值就等于真值，即inx0xx0x为了计算的方便，算术平均值也可按下式计算：8例2-1求20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002五个测得值的算术平均值。0000.2050002.209994.190003.209996.190005.20x0000.2050002.00006.00003.00004.00005.00000.20x2.2随机误差的数字特征解：一般算法：简化算法：9二标准差（或标准偏差）Standarddeviation用标准差来评价测得值的精度，即)(22221nnn2.2随机误差的数字特征第I组20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002第II组19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994两组的平均值都为20.0000，但它们的测量精度明显不同。第II组数据的分散比第I组的大，即第I组测得值的测量精度高于第II组。标准差测量次数真差10三用残差计算标准差的估计值xxxxxxnn22112.2随机误差的数字特征由于在有限次测量时得到的是有限个测得值，用算术平均值来替代真值。就可用代替来计算标准差的估计值。测得值对其算术平均值的差，叫残余误差，简称残差。nxxx,,,21x0xx0xsixxi1残差的定义11)62(2211xxxxxxnn(1)一组测得值残差之和等于零，即0ixnxii2.2随机误差的数字特征2残差的特性最小2i(2)一组测得值残差的平方和最小，即证明：因为又因为nxxi222222222212121222xxxxxxxxxxxxnnn证明：将式（2-6）平方，得：所以0nxnxiii所以12相加，有2222xnxxxiii对求导，得2ixnxxddii22)(2此结果表明，如果不取，而取其他代替真值，则相应偏差的平方和一定要比残差的平方和为大，这也同时说明了比其他值更可信赖。0xxx2.2随机误差的数字特征对于，有nxxi022)(2nxnxxddiii因此，当时，的值最小，即nxxi2i最小2i13式中，为算术平均值的真差。x故ixn12.2随机误差的数字特征xixiin)(相加，有0i因为由随机误差的特征知，当时，，则，即，或。这表明：在测量次数足够多的条件下，残差即为真差。n0x0xxiin01in(3)真差与残差之间的关系因为xxxxiiii;0所以xiixiixx014取项求和，得n2222xixiin当足够大时，上式中接近于0，又因nki0i故nnniiiii222222上式中，即为。2ni2故)72(122222nnii2.2随机误差的数字特征(4)标准差的估计值（贝塞尔公式）因为xii2222xixii两边平方，有ixn1因为)(21222kinkiix故15由式（2-7）就可根据有限个测量值的残差来求取随机测量误差方差的估计值。开方得：2s)82(122221nns称为实验标准差，它是标准差的估计值。式（2-8）称为贝塞尔（Bessel）公式。可简化为式中，C为常数。s)92(1)()(1)(222nCxnCxnxxiis如果各测得值不只出现一次，而是次，总次数，则上式可写成imimn)102(1)()(1)(222nCxnCxmnxxmiiiis2.2随机误差的数字特征16(5)标准差的其他计算法2.2随机误差的数字特征1别捷尔斯法（Peters）由贝塞尔公式得niiniiniiniinnnn1212121211此式近似为111nnniinii则平均误差为niiniinnn1111由于得7979.0253.17979.01172.2随机误差的数字特征故有1253.11nnnii此式称为别捷尔斯公式，它可由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差，而算术平均值的标准差为x1253.11nnniix2极差法maxx若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选取最大值与最小值，则两者之差称为极差，即nxxx,,,21minxminmaxxxn根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为nndE18故可得的无偏估计值，若仍以表示，则有2.2随机误差的数字特征因此nndEnnd式中的数值见下表。ndn2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74nd3最大误差法在有些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精确度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定真值），因而能够算出随机误差，取其中绝对值最大的一个值，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式imaxiniKmax19一般情况下，被测量的真值为未知，不能按上式求标准差，应按最大残余误差进行计算，其关系式为2.2随机误差的数字特征maxiniKmax两系数、的倒数见表nKnKn1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49nK/1n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43nK/1n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44nK/1202.2随机误差的数字特征212.2随机误差的数字特征22四算术平均值的标准差及其估计值)112()(1)(1)(121212122221111nnnmmmmxxxnxxxxnxxxxnx组的次重复测量，各组的测量次数仅为有限次，即各组测得值的算术平均值不等于真值，尚具有真值，有mjx0xjx)~1(mjjxnn写成一般形式)~1()(121mjxxxnxnjjjj取方差)]()()([1)(212nxDxDxDnxD2.2随机误差的数字特征23由于221)()()(nxDxDxD2.2随机误差的数字特征nnnxDx2222)(1)(故nx即nsx或sx/24例2-2计算表2-1所列两组测得值的标准差。表2-1两组测量的测得值组别测得值第I组20.000519.999620.000319.999420.0002第II组19.999020.000619.999520.001519.9994解：第I组：，残差为＋0.0005，-0.0004,+0.0003,-0.0006,+0.0002。0000.20IxIiixx2.2随机误差的数字特征因此，第I组测量精度比第II组高。s第II组：，残差为＋0.0010，+0.0006,-0.0005,+0.0015,-0.0006。由式（2-8）计算为0000.20IIxi001.0107.10101536225253610044sss0005.0107.410154369162544s由式（2-8）计算为25例2-3用机械测微仪测量某零件直径共51次，测得的数据如表2-2所列，试求测得值的各特征值－。xsx,,序号1234567825.12525.12625.12725.12825.12925.13025.13125.132239161172150.25075.378226.143402.048276.419175.91050.26225.132-3-2-10+1+2+3+494101491918129011281816511281.54244112mmxi/immxxi/22/)(mxximmxmii/22/)(mxxmiimmnxmxii128.2551542.1281mnxxmiis5.1501121)(2mnsx2.0515.12.2随机误差的数字特征解：表2-2一般算法26表2-3一般算法序号1234567825.12525.12625.12725.12825.12925.13025.13125.132239161172125.128-3-2-10+1+2+3+4-6-6-9011146494101491918129011