直线、平面平行的判定与性质

第4讲直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b1．辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．1．(2016·大连模拟)对于直线m，n和平面α，若n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D2．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：其中正确的命题是()A．①②③B．①④C．②D．①③④解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．3．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内过B点的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面β内且经过B点时，a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.4．过三棱柱ABC­A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：各中点连线如图，只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．答案：65．(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行考点一线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P132]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．(2015·高考四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH.[解](1)点F，G，H的位置如图所示．(2)证明：如图，连接BD，设O为BD的中点，连接OH，OM，MN.因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OM∥CD，且OM＝12CD，HN∥CD，且HN＝12CD，所以OM∥HN，OM＝HN.所以四边形MNHO是平行四边形，从而MN∥OH.又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，所以MN∥平面BDH.(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行．(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.1.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA＝BF∶FD，求证：EF∥平面PBC.证明：法一：连接AF并延长交BC于M.连接PM.因为AD∥BC，所以BFFD＝MFFA.又由已知PEEA＝BFFD，所以PEEA＝MFFA.由平面几何知识可得EF∥PM，又EF⊄平面PBC，PM⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.法二：作FN∥BC交AB于N，因为NF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以NF∥平面PBC.因为AD∥BC，所以NF∥AD，则BFFD＝BNNA，又PEEA＝BFFD，所以PEEA＝BNNA.连接EN，则EN∥PB.又EN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EN∥平面PBC.又EN∩NF＝N，所以平面EFN∥平面PBC，而EF⊂平面ENF.所以EF∥平面PBC.考点二面面平行的判定与性质[学生用书P132]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM∥平面A1ACC1?解：存在．当M为BC1的中点时成立．证明如下：连接EM(图略)，在△ABC1中，E，M分别为AB，BC1的中点，所以EM綊12AC1，又EM⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，所以EM∥平面A1ACC1.判定面面平行的方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．2.如图，已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明：(1)因为AE＝B1G＝1，所以BG＝A1E＝2，因为BG∥A1E，所以A1G∥BE.又因为C1F綊B1G，所以FG∥C1B1∥D1A1，所以四边形A1GFD1是平行四边形．所以A1G∥D1F，所以D1F∥EB，故E、B、F、D1四点共面．(2)因为H是B1C1的中点，所以B1H＝32.又B1G＝1，所以B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，所以△B1HG∽△CBF，所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F.考点三平行关系的综合应用[学生用书P133](2016·洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.[证明](1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤.3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，因为E、G分别是BC、SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F、G分别是DC、SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.方法思想——立体几何中的探索问题如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[解]点E为AB的中点时DE∥平面AB1C1，证明如下：法一：取AB1的中点F，连接DE、EF、FC1，因为E、F分别为AB、AB1的中点，所以EF∥BB1且EF＝12BB1.在三棱柱ABC­A1B1C1中，DC1∥BB1且DC1＝12BB1，所以EF綊DC1，四边形EFC1D为平行四边形，所以ED∥FC1.又ED⊄平面AB1C1，FC1⊂平面AB1C1，所以ED∥平面AB1C1.法二：取BB1的中点H，连接EH，DH，DE，所以E，H分别是AB，BB1的中点，则EH∥AB1.又EH⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EH∥平面AB1C1，又HD∥B1C1，同理可得HD∥平面AB1C1，又EH∩HD＝H，所以平面EHD∥平面AB1C1，因为ED⊂平面EHD，所以ED∥平面AB1C1.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，若M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解：当E为PD的中点时有NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE綊12AD.又在平行四边形ABCD中，CM綊12AD，所以NE綊MC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NM∥EC.又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.1．在空间内，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确．2．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，所有的点C()A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面解析：选D.根据平面平行的性质，不论A，B如何运动，动点C