功率谱估计

1第四章功率谱估计2谱估计的基本任务是根据有限个观测数据，估计平稳随机过程的功率谱密度。谱：频谱，功率谱对于我们所研究的信号，随机平稳信号，功率谱34.1引言时钟,日历:经验谱棱镜分解一束光:光谱每一种谱估计的技术都可以认为是一种模型法，具体地说，就是根据过程的先验知识，建立一个近似实际过程的模型；其次利用观测数据或自相关函数来估计函数的模型参数，最后做谱估计。4维纳——辛钦定理jjmxxxxmPerme5xxrmExnxnm1lim21NxxNnNrmxnxnmN功率谱的另一种定义6当信号具有遍历性时21lim211lim211lim21NjjmxxNmnNNNjnmjnNnNnNNjnNnNPexnxnmeNxnexnmeNxneN7辞海—谱(1)按照事务的类别或系统编成的表册，年谱(2)供示范或寻检用的图书、样本，如棋谱、画谱、脸谱(3)曲线：乐谱(4)按歌词作曲，曲谱(5)大致的依据、打算：心里有谱,做事没谱(6)左右、大约：三十元之谱8复杂振动用谱线表示时，代表各振动的频率和振幅的一系列直线，谱线数反映了该复杂振动所包含的谐振动的个数，各谱线的长短。谱线9考虑到是观测数据，是随机变量，取统计平均xnjxxPe21lim21NjjnxxNnNPeExneN10二、谱估计方法的概述11数转化为估计信号模型参题以信号模型为基础，问：参数化谱估计非线性谱估计现代谱估计法间接法：直接法：周期图法线性谱估计经典谱估计方法BT12频率分辩率低，这是由于有限个观测数据加窗截断的影响。主瓣：功率谱向附近频域扩展，谱模糊，频率分辩率低。旁瓣：谱间干扰，强信号的旁瓣影响弱信号的检测，淹没弱信号；或者把旁瓣误以为信号。经典谱估计的缺点13估计质量比经典谱估计质量有很大提高，需要针对不同的信号，选择合适的模型，但目前尚未有任何理论来指导模型的选择。一般来说，AR模型适合有谱峰的信号，MA模型适合有波谷的信号。现代谱估计144.2经典谱估计15一、BT法161.1958年，Blackman和Tukey提出，在1965年FFT算法出现之前，BT法一直是最常用的方法。2.理论基础：维纳——辛钦定理3.自相关函数的估计功率谱的估计FT17根据前面的分析已经知道，有偏自相关函数的估计优于无偏自相关函数的估计101ˆNmxxnrmxnxnmN18实际上，根据有限个观测数据来估计自相关函数的，假设信号为，进入自相关函数估计的为，估计得到得自相关函数，则xnNNxnxnRnˆxxrm2ˆxxNNNNxxNrmExnxnmExnxnmRnRnmrmwm19222sin12sin2NjNNmwmNNweN2ˆjjmxxxxNmPermwme2021是由于截断数据而产生的，为了减少截断的影响，通常要增加一个窗函数进行平滑处理。设平滑窗为.()RwnMnM2()Nwn22功率谱222ˆˆ(1)1ˆ214MjjmBTxxRmMMjmxxNRmMjjxxRjjjxxNRPermwmermwmwmePeWePeWeWe23设的持续时间为，需要注意的是，考虑到功率的非负性，在选择窗函数的时候，一定要保证功率谱是一个非负值。RwnMnM24误差分析1ˆˆ21ˆ2jjjBTxxRjjxxREPePeWedPeWe21ˆMjjBTxxRmMVarPeVarPewmN25可以看出，方差小M小偏移小M大主瓣窄，频率分辩率高通常Ｍ取数据长度的．i.e.155NM26二．周期图法27忽略求统计平均运算2101lim21NjjnxxNnPeExneN2101NjjnxxnPexneN21ˆFFTxxxnXkPkXkN1.原理：用DFT计算功率谱282.与BT法的关系21110001100111011101111ˆ111ˆNNNjjnjkjnxxnknNNjknknNNjmmNnNNjmmNnNjmxxmNPexnexkexneNNxkxnemknNxnxnmeNxnxnmeNrme291.周期图的谱估计与有偏自相关函数的估计等价2.序列后面加零，FFT谱线变密，频率分辨率并没有提高。303.周期图谱估计的性能分析31(1)均值32其中，121ˆ1NjjmxxxxNmNPermwmeNmNmwN2)2sin()2sin(122NNmwFTeWNjNBT法谱估计33由(1)式可知因此，周期图是有偏估计当时，，其频谱趋近于函数，周期图的估计属于渐近无偏估计21ˆ2jjjxxxxNEPePeWeN21NWm34（2）方差35假设x(n)是实的、零均值、正态白噪声信号，方差为，则功率谱为常数。令N为数据长度2x2xˆjNxxIPe11200111NNjjkjnNnkjkjnNNnkIXexkxneeNNxkxnRnRkeeN36这里假设信号是实的白噪声信号，周期图估计是无偏估计。22111jnkNNNnkjnkxNNnkxEIExkxnRnRkeNnkRnRkeNN37要计算周期图的均方值，先计算22[][][]NNNVarIEIEI21NNIIE)(2222212121)()()()(11qpjknjNNNnkpqNjjNNeeqxpxkxnxqRpRkRnRNeXeXNEIIE384244[()()()()][()()][()()][()()][()()],;,;,;0xxxxExnxkxpxqExnxkExpxqExnxpExkxqnkpqnpkqpkqnnkpqnpkqpkqn3942212121214210101010))(())((2))((22))((222221])()()()()()([)]()([xxNNnNkNnNkknjknjknjkNnNknjkNnNpNNnNNNeeNekRnRekRnRpRnRIIE4012212110012sin2sin2NNjnknkNe12212110012sin2sin2NNjnknkNe41122242222421sin2sin1`sin1sinNxNNNxnEINVarIEIEInN42当N→∞时周期图是非一致估计24xxxNPIVar43上面的推导是以为依据进行推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。2()~(,)xxxnNm221212212142121212sin2sin2sin2sin)]([)]([)]()([))()((NNNNIEIEIIEIICovxNNNNNN44若，k，l均为整数，则1222,,klNN22421sinsinsinsin)(NlkNlkNlkNlkIICovxNN45当且k+l不是N的整数倍时,以的整数倍为频率间距的周期图是不相关的协方差为零的功率谱样本之间的间距↓，周期图的起伏增快。lk021NNIICov2NN4647BT法和周期图法的主要优点计算量小功率谱估计值正比于正弦波的功率是一种良好的实用模型48主要缺点:弱信号被强信号的旁瓣淹没频率分辩率约为数据长度的倒数，且与数据的特征或信噪比无关出现旁瓣，使谱失真需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统计特性某些加窗的相关函数会使功率谱估计值出现负值49经典谱估计不可能获得良好的谱估计1.m↑，参与求和项数↓，平均效果↓，m=N-1，只有一项。→滞后量以较大的是不可靠的，估计方差大。FTxxxxrmP50经典谱估计不可能获得良好的谱估计2.周期图法用到了m=0~N-1的全部相关函数的估计值方差较大，BT法虽然可以通过使相关函数的最大滞后量MN-1来去掉那些不可靠的相关函数估计值，但M↓,将FT的求和范围缩短，变换式本身的近似程度↑。FTxxP51三.经典谱估计方法的改进521.窗口处理法：（FFT出现以前）选择适当的窗函数作为加权平均。2.平均周期图法：数据分段求出各段的平均周期图取平均3.Welch法：改进的Bartlett法531.平均周期图分L组，每组有M个数据，第组：01xnnNLMNi01,1ixnxniMMnMiL2101MnnjiienxMI54ixxiLiixxLiixxILPIEILEPEILPvar1ˆvar1ˆ1ˆ1155三角窗长度的减少，主瓣变宽，频率分辨率减少，因此平均周期图法是以牺牲频率分辨率换取方差的减小。jMjxxjxxeWePeP221ˆ信号的功率谱56如果数据是不相关的（白噪声），其偏移量、方差如上面的两式所示。但实际信号存在关联性，因此，在一般情况下，估计方差的减小少于。当，功率谱越平滑。估计的偏移量与方差是一对矛盾。偏移大小反映的是频率分辨率。当N确定，，方差减小，频率分辨率降低。L10ˆvar,jxxePLML需要,57方差减小有明显效果582.窗函数法59选择一个适当的窗函数与周期图卷积，平滑周期图。mw21