港澳台联考数学模拟题(5)

1中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题（5）数学满分150分，考试用时120分钟考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做一、二题，在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={x∈R︱x2+x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（）A．{2}B．{3}C．{－3，2}D．{－2，3}2．已知命题p:xÎR，cosx≤1，则（）A．1cos,:xRxpB．:pØx∈R，cosx≥1C．1cos,:xRxpD．:pØx∈R，cosx＞13.若复数iia213（aR，i为虚数单位）是纯虚数,则实数a的值为()A、-6B、13C.32D.134.若5)1(ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是（）A．-2B.22C.34D.25、在△ABC中，a,b,c分别是A，B，C的对边，且2223bcbca，则A等于（）A．6B．3C．23D．566．如图，目标函数u=ax－y的可行域为四边形OACB(含边界).若点24(,)35C是该目标函数的最优解，则a的取值范围是（）1,3,52A．]125,310[B．]103,512[C．]512,103[D．]103,512[7．若函数1()axfxeb=-的图象在x=0处的切线l与圆C:221xy+=相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不能确定8．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是111AAAD，黄“电子狗”爬行的路线是1ABBB，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）A．0B．1C．2D．39．已知函数2()fxxxc，若(0)f＞0，()fp＜0，则必有（）A．(1)fp＞0B．(1)fp＜0C．(1)fp0D．(1)fp的符号不能确定10．曲线32yxx在横坐标为-1的点处的切线为l，则点(3,2)P到直线l的距离为（）A．722B．922C．1122D．9101011．已知(,)|6,0,0xyxyxy，(,)|4,0,20Axyxyxy，若向区域上随机投一点P，则点P落在区域A的概率为（）A．13B．23C．19D．2912．对于函数①()|2|fxx，②2()(2)fxx，③()cos(2)fxx，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)fx是偶函数；命题乙：()fx在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是3（）A．①②B．①③C．②D．③二、填空题：（本大题共8题，每小题4，共32，把答案填写在题横线上）.13、曲线所围成的封闭图形的面积为_________14．在平面直角坐标系xoy中已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6，0)，顶点B在双曲线的左支上，15．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……试用n表示出第n个图形的边数____________na=.16、三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面三个结论：①函数f(x)的值域为(－1,1)②若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)③若规定f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有17、如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，PB=OA=2，则PF=。18、极坐标系中，点P(2,)6到直线：:sin()16l的距离是．19、不等式|1||3|2xx的解集是20、求过点M（1，-1，2）,N（-1，0，3）且平行于z轴的平面方程ACOFBDP1,1,2,0yxxyx====sinsinsinACB则-=2212511xy-=4三、解答题：在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．21、（本小题满分14分）在ABC中，已知内角3A，边23BC.设内角Bx,面积为y.(1)求函数()yfx的解析式和定义域；(2)求y的最大值.22．（本小题满分14分）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.523．（本小题满分14分）如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.（1）求二面角O1－BC－D的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离.24．（本小题满分15分，文史类考生不做）设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；25.（本小题满分15分，文史类考生不做）设函数()ln1fxxpx=-+（Ⅰ）求函数()fx的极值点；（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有0)(xf，求p的取值范围；EO1OD1C1B1DCBAA1626．（本小题满分15分，理工类考生不做）设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；27.（本小题满分15分，文史类考生不做）设函数()ln1fxxpx=-+（Ⅰ）求函数()fx的极值点；（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有0)(xf，求p的取值范围；7数学试题参考答案一、选择题（本大题12，共6分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）题号123456789101112答案ACADDBBBAADC二、填空题：（本大题共须作8题，每小题4，共32，把答案填写在题横线上）.13、ln214、5615、134n-´16、317、3；18、13。；19、2xx20、x+2y+1=0三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21、（本小题满分14分）解：（1）ABC的内角和ABC3A203B…………………1分sin4sinsinBCACBxA2sin4sin()sin3BCABCxA……………5分12sin43sinsin()23yABACAxx2(0)3x…………………7分（2）y23143sinsin()43sin(cossin)322xxxxx……………9分26sincos23sinxxx723sin(2)3,(2)6666xx…………12分当262x即3x时，y取得最大值33………………………14分22（本小题满分14分）解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=834334A…………3分（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=16943222324ACC……6分（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………7分P（ξ=0）=64274333P（ξ=1）=6427433213CP（ξ=2）=64943313CP（ξ=3）=6414333C………………9分∴ξ的分布列为：8………………10分∴期望Eξ=0×6427+1×6427+2×649+3×641=43………………12分23．（本小题满分14分）解法一（1）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，………………3分∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=3.在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=133,3OOOF∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D为60°………………6分（2）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F.过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，………………10分∴OH=3.2∴点E到面O1BC的距离等于3.2………………12分解法二：（1）∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，………………2分建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=23，OB=2，则A（23，0，0），B（0，2，0），C（－23，0，0），O1（0，0，3）………3分设平面O1BC的法向量为1n=（x，y，z），则1n⊥1OB，1n⊥1OC，∴2302330yzxz，则z=2，则x=－3，y=3，∴1n=（－3，3，2），而平面AC的法向量2n=（0，0，3）………………5分ξ0123P642764276496419∴cos1n，2n=21436||||2121nnnn，设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα=1,2∴α=60°.故二面角O1－BC－D为60°.………………6分（2）设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴1EO=（－3，0，32），………………9分则d=2323)3(|)2,3,3()23,0,3(|||||22211nnEO∴点E到面O1BC的距离等于32。……………12分24、26．（本小题满分14分）解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521FFcba2分设P（x，y），则1),1(),1(2221yxyxyxPFPF3511544222xxx………………4分]5,5[x，0x当，即点P为椭圆短轴端点时，21PFPF有最小值3；当5x，即点P为椭圆长轴端点时，21PFPF有最大值4……6分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为)5(xky……………………8分由方程组2222221(54)5012520054(5)xykxkxkykx，得依题意25520(1680)055kk，得…………10分当5555k时，设交点C),(),(2211yxDyx、，CD的中点为R),(00yx，则45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200kkkkkxky10又|F2C|=|F2D|122RFkklRF12042045251)4520(0222222kkkkkkkkkRF…………13分∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|…………14分25、27．（本小题满分14分）解：（1）),0()(,1ln)(的定义域为xfpxxxf，xpxpxxf11)(…………2分当),0()(,0)(0在时，xfxfp上无极值点…………3分当p0时，令xxfxfpxxf随、，)()(),,0(