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概率论与数理统计教材:《概率论与数理统计教程》,魏宗舒等编,高等教育出版社第一章随机事件及其概率•随机事件及其运算•概率与频率•古典概率与几何概率•概率公理化的定义及其性质•条件概率、全概率公式和贝叶斯公式•事件的独立性•贝努里概型1.1随机事件及其运算一些试验的例E1:抛一枚硬币,分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况;E3:将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子,考虑可能出现的点数;E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数;E6:在一批灯泡中任取一只,测其寿命;E7:任选一人,记录他的身高和体重。一、随机试验(简称“试验”)1.可在相同条件下重复进行;2.每次试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E随机试验的特点(p3)1、样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间,记为Ω(或S)={e};2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为e.EX给出E1-E7的样本空间二、样本空间(p3)(1).定义(p4)试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素(2).两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p4-5)例:对于试验E2,以下A、B、C即为三个随机事件:A=“至少出一个正面”={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH};B=“三次出现同一面”={HHH,TTT};C=“恰好出现一次正面”={HTT,THT,TTH}例:试验E6中,D=“灯泡寿命超过1000小时”={x:1000xT(小时)}。3随机事件三、事件的关系1.包含关系(子事件)(p5):A发生必导致B发生,记为AB相等关系(p6):A=BAB且BA.(p6):事件A与B至少有一个发生,记作AB2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生,记作iniA12.和事件(p6):A与B同时发生,记作AB=AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生,记作A1A2…An3.积事件4.差事件(p7):A-B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生5.互斥的事件(p7):AB=6.互逆的事件(p8)AB=,且AB=BABAAAB易见的对立事件,称为记作;四、事件的运算律(p5)1、交换律:AB=BA,AB=BA2、结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)3、分配律:(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律:.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广例:甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、B、C的运算关系表示下列事件:::::::::::::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标””“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标””“至少有一人命中目标AAAAAA练习1.写出随机试验E的样本空间、样本点及所列出的随机事件(1)掷一颗骰子.A={出现偶数点};(2)5件产品中有一件废品,从中任取两件.B={从中任取两件得一件废品};(3)向xoy面上的单位圆内投点.C={投点落在单位圆内}2.某地区有1000人是1925年出生的,E:考察到2005年还有几个人活着。(1)写出E的样本空间;(2)设A={只有10个人活着},B={至少有30个人活着},C={最多有5个人活着},问:A与B、A与C、B与C是否互不相容?A、B、C的对立事件是什么?1.2概率与频率1、概率:从直观上来看,事件A的概率是指事件A发生的可能性大小的度量(数值),记作P(A)2、频率定义:(p14)在相同条件下,进行了n次试验,在这n次试验中事件A出现的次数nA称为的A频数,比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率,记为fn(A).即fn(A)=nA/n.历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时,出现正反面的机会均等。频率的性质(1)0fn(A)1;(2)fn(S)=1;fn()=0(3)可加性:若AB=,则fn(AB)=fn(A)+fn(B).3、概率与频率实践证明:当试验次数n增大时,fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A),作为事件A的概率。因此,概率应具有与频率同样的性质。一、古典概型(p16)若某实验E满足:1.有限性:样本空间S={e1,e2,…,en};2.等可能性:P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。1.3古典概型设事件A中所含样本点个数为N(A),以N(S)记样本空间S中样本点总数,则有)()()(SNANAPP(A)具有如下性质:(1)0P(A)1;(2)P()=1;P()=0(3)AB=,则P(AB)=P(A)+P(B)二、古典概型中的概率例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?例1.6:在盒子中有十个相同的球,分别标为号码1、2、…、10,从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率。乘法公式:设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法,则完成这件事共有n1n2种方法。复习:排列与组合的基本概念三、古典概型的几类基本问题加法公式:设完成一件事可有两种途径,第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种方法,则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k次,每次取一个,记录其结果后放回,将记录结果排成一列,共有nk种排列方式.无重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列,共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.组合:从含有n个元素的集合中随机抽取k个,共有种取法.)!(!!!knknkPknCknkn1、抽球问题例1:设盒中有3个白球,2个红球,现从盒中任抽2个球,求取到一红一白的概率。答:取到一红一白的概率为3/5一般地,设盒中有N个球,其中有M个白球,现从中任抽n个球,则这n个球中恰有k个白球的概率是nNknMNkMCCCp例2:将3个球随机的放入3个盒子中去,问:(1)每盒恰有一球的概率是多少?(2)空一盒的概率是多少?2、分球入盒问题(分房问题)一般地,把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm),则每盒至多有一球的概率是:nnmmPp例3:30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成3组,求:(1)每组有一名运动员的概率;(2)3名运动员集中在一个组的概率。3.分组问题一般地,把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…m),共有分法:!!....!1mnnn例4:从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率;(2)求取到的数能被8整除的概率;(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。4随机取数问题1.4几何概率一、几个例子例1:某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待时间短于10分钟的概率(半点报时)。例2:如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油,假如在这海域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?例3:在40毫升自来水里有一个细菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现细菌的概率。二、定义若记A={在区域S中随机地任取一点,而该点落在区域g中},则)()()(SmgmAP这一类概率称为几何概率。例1.11:甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去。求两人会面的概率。解:以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充要条件为15yx在平面上建立直角坐标系如图,167604560)()()(222SmAmAP则15601560Y=x+15Y=x-15三、几何概率的基本性质(1)0P(A)1;(2)P(S)=1;P()=0;(3)若,A1,A2,…An…两两互不相容,则(可列可加性)。11)(nnnnAPAP)(1.5概率的公理化定义1.定义(p29)若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A,均赋予一实数P(A),集合函数P(A)满足条件:(1)P(A)≥0;(2)P()=1;(3)可列可加性:设A1,A2,…,是一列两两互不相容的事件,即AiAj=,(ij),i,j=1,2,…,有P(A1A2…)=P(A1)+P(A2)+….(1.1)则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质P(29-31)(1)有限可加性:设A1,A2,…An,是n个两两互不相容的事件,即AiAj=,(ij),i,j=1,2,…,n则有P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…P(An);(3)事件差:A、B是两个事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB)(2)单调不减性:若事件AB,则P(A)≥P(B)(4)加法公式:对任意两事件A、B,有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形;(5)互补性:P(A)=1-P(A);(6)可分性:对任意两事件A、B,有P(A)=P(AB)+P(AB).例:某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.1.6条件概率一般地,设A、B是S中的两个事件,P(A)0,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。)1.6.1()()()|(APABPABP例2.一盒中混有100只新,旧乒乓球,各有红、白两色,分类如下表。从盒中随机取出一球,若取得的是一只红球,试求该红球是新球的概率。二、乘法公式设A、B,P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A).(1.6.2)式(1.6.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。式(1.6.2)还可推广到三个事件的情形:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.6.3)一般地,有下列公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).(1.6.4)例3盒中有3个红球,2个白球,,每次从袋中任取一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜色相同的球,若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解:设Ai为第i次取球时取到白球,则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP三、全概率公式与贝叶斯公式例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为2%、1%、3%,试求市场上该品牌产品的次品率。定义:事件组A1,A2,…,An(n可为),称为样本空间S的一个划分,若满足:.,...,2,1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniiA1A2……………AnB定理1:设A1,…,An是S的一个划分,且P(Ai)0,(i=1,…,n),则对S的任何事件B有)5.6.1()|()()(1niiiABPAPBP=式(1.6.5)就称为全概率公式例5有甲乙两个袋子,甲袋中有两个白球,1个红球,乙袋中有两个红球,一个白球.这六个球手感上不可区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋,搅匀后再从乙袋中任取一球,问此球是红球的概率?定理2:设A1,…
本文标题:概率论与数理统计
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