模糊控制稳定性研究

模糊控制系统的稳定性研究李承家王磊戴冠中摘要：模糊控制系统稳定性分析是模糊控制理论研究的焦点和关键问题。对模糊控制系统稳定性研究的发展历程及现状作了综述，并论述了稳定性研究中存在的问题及发展动向。关键词：近似推理,模糊控制系统,稳定性分析ResearchesonStabilityofFuzzyControlSystemsAbstract：Stabilityanalysisoffuzzycontrolsystemhasbeenthefocalpointandcrisisinthefuzzycontroltheory.Anoverviewofthedevelopmentandthestateofartofstabilityanalysisinfuzzycontrolsystemsispresented.Afterthat,theexistproblemsandfuturedevelopmentsonstabilityanalysisarealsodiscussed.Keywords：approximatereasoning，fuzzycontrolsystem，stabilityanalysis1模糊控制的缘起自动控制理论已历经经典控制理论、现代控制理论两个发展阶段，现在已进入智能控制理论发展时期。目前，虽然对智能控制的界定尚未形成统一的认识，但人们都不怀疑模糊控制理论是智能控制理论的重要组成部分。与模糊控制相区别，我们把经典控制理论、现代控制理论统称为传统控制理论。传统控制理论在工业过程、航空航天、国防等领域获得了成功的应用，极大地促进了社会生产力的发展。经典控制理论主要解决单变量系统的反馈控制问题，主要包括以传递函数、频率特性、根轨迹分布为基础的Bode图、Evans的根轨迹法，包括Routh-Hurwitz代数判据，Nyquist稳定性判据和对数频率特性综合等。现代控制理论则着重解决多变量系统的优化控制问题。在现代控制理论里，有基于统计函数理论的系统动态特性测量方法（即系统辨识）和卡尔曼滤波理论；有用于实现系统性能指标泛函最小的庞特里亚金极大值原理和贝尔曼动态规划理论；有李亚普诺夫的系统稳定性理论；线性系统中有典型的能控性、能观测性分析方法，极点配置方法，以及在环境条件改变而不确知情况下，仍能实现最优控制的自适应控制理论。尽管这些理论在处理实际问题时都得到相当程度的成功，但它们都有一个基本的要求，就是必须知道被控对象的数学模型。然而随着科学技术的迅猛发展，被控对象或过程在结构、规模上变得复杂化、大型化。这种复杂化和大型化，不仅表现在控制系统具有多输入多输出的强耦合性、参数时变性，严重的非线性特性，变结构、多层次，以及各种不确定性，更突出的是从系统对象所能获得的知识信息量相对地减少，而对系统控制性能的要求却大幅度地提高，从而更难获得系统的精确数学模型。即使对一些复杂对象能够建立起数学模型，其模型也往往过于复杂，使得系统分析设计、实施有效控制变得非常困难。关于这一情形，Zadeh教授在1973年提出的不相容原理中指出：“随着系统复杂性的增长，我们对其特性作出精确而有意义的描述能力相应地降低，直到达到一个阈值。一旦超过它，精确性和有意义性几乎成为两个互相排斥的特征。”也就是说，在多变量、非线性、时变的系统中，系统复杂性与人类所要求的精确性之间形成了尖锐矛盾。这就意味着，人们不可能无限制地追求系统模型的精确。1965年，美国加利福尼亚大学的L.A.Zadeh创造性地提出模糊集理论，尔后，Zadeh继续丰富和发展了模糊集理论，提出了一种将逻辑规则的语言描述转化成相关控制量的思想，为早期模糊控制器的形成奠定了基础。Zadeh的模糊集理论为人们处理模糊概念提供了数学工具。1974年，英国的E.H.Mamdani首先构造了基于模糊推理的模糊控制器，将模糊集理论用于蒸汽机和锅炉的控制，取得了优于常规控制器的控制品质。其控制方法的主要特点是把人们的经验转化为控制策略，为控制模型未知的复杂系统提供了很方便的模式。这项研究成为模糊控制理论研究与实际应用相结合的第一个实例。在这之后，模糊逻辑控制技术得到迅猛的发展，并在航空航天、冶金、石油化工、动力设备、交通运输和机器人等控制方面取得了显著的成果。2模糊控制与控制稳定性问题用模糊集理论去开发控制系统已经获得很大成功。在系统控制中，模糊控制器可以应用于非线性、时变和模型较难获得的系统。特别适用以下情形：系统过于复杂而难以建立精确的数学模型；系统具有强非线性；系统输入或定义具有结构不确定性。经过20多年的分析、研究，人们逐渐达成共识，模糊控制与传统控制各具优点，作为传统控制技术的主要补充，模糊控制丰富了控制工程师的工具箱。模糊控制虽然有以上的优点，但同常规的控制理论（如线性系统理论）相比，其发展还远未成熟。比如，模糊控制缺少系统的设计方法，模糊集隶属度函数如何确定、模糊规则如何获取等问题还没有很好解决。尤其是与系统的可实现性密切相关的稳定性问题没有很好解决。虽然大量工程应用的成功说明了模糊控制方法的实用性和有效性，然而没有稳定性的理论保证，模糊控制理论无论如何不能算作成熟。正是这些问题的存在，再加上早期一些学者片面夸大模糊控制方法的作用，所以模糊控制在学术界曾遭受到强烈的抵制。其实，几乎在模糊控制器产生的同时，部分学者也进行了稳定性的研究。研究工作主要从以下两方面进行：①借用传统控制理论研究方法研究模糊控制器的稳定性，从事这方面工作的有Kickert和Mamdani，Chen，Langari和Tomizuka等；②试图建立具有模糊控制器本身特点的研究方法，从事这方面工作的有Braae和Rutherford，Tong，Kiszka等。Kickert和Mamdani根据模糊控制器的特点，提出了用多级继电器来模拟模糊控制器，用传统的描述函数结合非线性特性来研究稳定性。需要指出，描述函数法通常用来预测非线性系统极限环的存在性，至多不过是一种近似的方法，而且要求被控对象具有低通特性。Chen用胞映射来分析系统的稳定性，但这种处理方法需要精确的数学模型，而且是局部精确的。Langari和Tomizuka曾用Lyapunov直接法对模糊控制系统稳定性进行分析，为了增强稳定运行范围，提出了鲁棒性指标，它可以用来评价和设计给定的模糊控制系统。由于模糊控制器是非自适应的，其结果依赖大量的条件，严重地限制了模糊控制器设计的灵活性。Braae和Rutherford提出了一种基于语言相平面的分析方法，在语言相平面里处理闭环系统的语言轨迹。通过调整比例映射，近似地产生希望的行为。这种方法的应用通常限制在较低阶的系统中。Tong也分析了基于关系矩阵描述的模糊闭环稳定性。他们所进行的工作都限于分析纯模糊类型的模糊控制器，没有提出系统的设计方法。Gupta等研究了模糊开环系统的能控性。我们知道，当动态系统总能量单调减至平衡状态时，则系统稳定，Kiszka等人推广这一理论，定义了模糊状态的能量函数，提出了稳定性的能量分析方法，该方法在理论上只能说作了初步的尝试和探索，很多问题、概念并没有定义清楚，稳定性、鲁棒性混在一起，结果也很难独立处理稳定性问题。我国学者也作了不少工作。华中理工大学邓聚龙教授认为经典控制的稳定性概念和分析方法并不适合模糊控制器，1983年，邓教授利用模糊数的概念对满足不同关系的典型控制过程进行分类，并在此基础上提出了模糊控制的稳定性条件。顾树生,平力借用传统非线性系统中常用的相平面法、稳定区间法讨论了模糊控制系统的稳定性，基于该稳定性方法设计的模糊控制系统具有良好的稳态、动态性能和抗干扰能力，然而不足之处在于，其方法仅适用二维、三维模糊控制器的设计。这些是70，80年代模糊控制发展初期的部分研究成果。90年代以来，模糊控制理论进入蓬勃发展阶段，稳定性研究出现了较多的重要结果。3模糊控制稳定性研究的现状3.1基于关系矩阵描述的模糊控制模型R.M.Tong提出由控制器和被控过程组成的模糊闭环控制系统,并直接求得闭环模型，但其闭环模型难以通过关系矩阵来分析闭环稳定性。有鉴于此，陈建勤等提出一种基于关系矩阵描述的闭环系统分析模型，他把模糊控制系统中模糊化部分和模糊决策部分都归入被控过程，称之为“广义模糊过程”，提出基于系统分析结构的稳定性分析方法，通过估计关系矩阵与平衡状态的关系，得到模糊系统稳定的充分条件、必要条件，以及闭环系统综合的方法。JuGang由模糊控制器和被控过程的语言规则模型导出模糊闭环系统的语言关系模型，进而讨论了语言关系矩阵并分析了闭环系统的稳定性。Mamdani模糊控制器的核心是模糊推理，诸如稳定性等重要特性，与关系矩阵密切相关。对模糊动态方程特性的充分了解，有助于系统的稳定性分析。3.2Takagi-Sugeno模糊控制模型Takagi和Sugeno于1985年提出了一种基于模型的模糊控制系统，控制规则前件依然是模糊量，后件是输入的线性组合。后来的研究表明，很多控制问题可以归结为Takagi-Sugeno模糊系统。Tanaka和Sugeno基于Lyapunov直接法对T-S模型给出系统的稳定性判定条件，利用模糊结构图的化简给出闭环系统的设计方法。该方法要求对所有规则存在一个满足Lyapunov方程的公共正定矩阵P，以使模糊系统全局渐近稳定。文中没有给出P的求法。针对这个问题，WonChulKim等对T-S模型给出一种新的稳定性判别方法，对每条规则用Lyapunov函数来判别系统的稳定性，同时提出一种简化稳定性判断的梯度算法。HuaO.Wang等利用并行分布补偿（PDC）的概念提出T-S模糊闭环系统的稳定设计方法，其稳定性判定条件同Tanaka等人的结果一样，要求判定公共正定矩阵P的存在，Wang把稳定性分析等价于线性矩阵不等式问题，最终可用凸规划技巧得以有效解决。上述稳定性判定方法，要求对一组Lyapunov方程存在一个公共正定矩阵P。这一要求过于严格，有时只能适用于一些简单的非线性系统。Cao，Rees等曾根据线性时变系统理论分析T-S模型，而不必寻求公共正定矩阵P并用之设计模糊控制器。Cao等还提出用一组矩阵构造分段光滑的二次Lyapunov函数的方法进行稳定性设计。Feng等研究了由一组局部状态空间模型表示的模糊系统，通过设计每一局部状态反馈控制器和补偿器来设计模糊控制器。补偿器设计利用变结构控制的知识，整个控制器使闭环系统全局渐近稳定。MaXiaojun,SunZengqi等人研究了基于T-S模糊模型的模糊控制器、模糊观测器的分析与设计问题，推广了线性系统理论中的分离性质，即模糊控制器、观测器可以单独设计，并且保证整个系统的稳定。3.3其他模糊模型及稳定性分析方法汪培庄教授提出模糊控制系统稳定性的垫整分析方法。借助于指标表达的规则映射，一个模糊控制器的响应g分解为两部分：经典成分，非线性成分（即垫整）。然后用非线性系统的描述函数来分析模糊控制器的稳定性。可以证明，采用简单语言值族、简单规则映射的模糊控制器能保持经典的PID控制器的稳定性。王立新比较系统地提出了4种获得模糊规则的方法和一系列稳定的自适应模糊控制器，给出了系统的稳定设计方法。他利用神经网络理论发展起来的技术，来解决规则获取及规则参数问题，同时把自适应技术用到模糊控制器设计中，解决了模糊控制系统的稳定设计问题和系统的性能分析。其稳定性设计方法是通过设计一个监督控制器保证系统的稳定性。当状态向量趋于发散时，监督控制器把状态向量强制地拉回稳定区域。王立新证明了这种方法能够保证闭环系统的全局稳定性，并在一定条件下，系统输出参考轨迹间的误差可以收敛到零。王立新还首先提出模糊系统基函数的概念,并用Stone-Weierstrass定理证明了用模糊基函数表示的模糊逻辑系统是万能逼近器，同多项式、径向基函数近似一样，能在紧集上以任意精度逼近任意的非线性函数。1989年美国的H.Ying和J.J.Buckley等人开创了模糊控制器的结构分析这一方向。他们通过推导模糊控制器的解析式，来揭示模糊控制器的结构特性以及与传统控制器的关系，并分析