概率论与数理统计习题及答案第八章

习题8-11.填空题(1)假设检验易犯的两类错误分别是____________和__________.解第一类错误(弃真错误);第二类错误(取伪错误).(2)犯第一类错误的概率越大,则右侧检验的临界值(点)越_____,同时犯第二类错误的概率越_____.解小,小.2.已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布(,1)N,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40cm.求:(1)取显著性水平α=0.05时,均值的双侧假设检验的拒绝域;(2)的置信水平为0.95的置信区间;(3)问题(1)和(2)的结果有什么关系.解(1)计算得到拒绝域为(-∞,39.51)∪(40.49,+∞).(2)已知x40,σ=1,α=0.05,查表可得0.02521.96,zz所求置信区间为2211()(401.96,401.96)1616,xzxznn(39.51,40.49).(3)对于显著性水平α=0.05,的双侧假设检验的接受域恰为的置信水平为0.95的置信区间.习题8-21.填空题(1)设总体2~(,)XN,12,,,nXXX是来自总体X的样本.对于检验假设0H:0(0≥或0≤),当2未知时的检验统计量是,0H为真时该检验统计量服从分布;给定显著性水平为α,关于μ的双侧检验的拒绝域为,左侧检验的拒绝域为,右侧检验的拒绝域为__________.解XtSn;自由度为n-1的t分布;2tt…;tt„;tt….2.统计资料表明某市人均年收入服从2150元的正态分布.对该市从事某种职业的职工调查30人,算得人均年收入为2280x元,样本标准差476s元.取显著性水平0.1,试检验该种职业家庭人均年收入是否高于该市人均年收入?解由于总体方差未知,故提出假设H0:μ≤μ0=2150;H1:μμ0.对于α=0.1,选取检验统计量0XtSn,拒绝域为t)1(nt=t0.1(29)=1.3114.代入数据n=30,x=2280,s=476,得到4959.130476215022800nsxt1.3114.所以拒绝原假设,可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.3.从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量,算得平均值11958,样本标准差316s．设发热量服从正态分布.取显著性水平α=0.05,问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100?解提出假设H0:μ=μ0=12100;H1:μ≠μ0.对于α=0.05,选取检验统计量0XtSn,拒绝域为|t|)1(2nt=t0.025(23)=2.0687代入数据n=24,x=11958,s=316,得到0|||1195812100|||2.2014431624xtsn2.0687.所以拒绝原假设,不能认为该试验物发热量的期望值为12100.4．从某锌矿的东西两支矿脉中,各抽取容量分别为9和8的样品,计算其样本含锌量(%)的平均值与方差分别为:东支:0.230,x2110.1337,9;ns西支:0.269,y2220.1736,8sn.假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布.取显著性水平0.05,问能否认为两支矿脉的含锌量相同?解提出假设H0:μ1-μ2=0;H1:μ1-μ2≠0.已知α=0.05,210.230,0.1337xs,220.269,0.1736ys,129,8,nn选取检验统计量1211wXYtSnn,22112212(1)(1)2wnSnSSnn,拒绝域为|t|120.0252(2)(15)2.1315.tnnt因为2222112212(1)(1)(91)0.1337(81)0.17360.392982wnsnssnn,12|||0.2300.269|||0.205811110.3998wxytSnn2.1315,所以不能拒绝原假设,可以认为两支矿脉的含锌量相同.习题8-3一、填空题1.设总体2~(,)XN,12,,,nXXX是来自总体X的样本,则检验假设0H:220(220≥或220≤),当未知时的检验统计量是,0H为真时该检验统计量服从分布;给定显著性水平α,关于σ2的双侧检验的拒绝域为,左侧检验的拒绝域为,右侧检验的拒绝域为__________.解2220(1)nS;2(1)n;2212(1)n≤或222(1)n≥;221(1)n≤;22(1)n≥.2.为测定某种溶液中的水分,由它的10个测定值算出样本标准差的观察值0.037s％.设测定值总体服从正态分布,2为总体方差,2未知.试在0.05下检验假设0:0.04H≥%;1:0.04H%.解只需考虑假设022:0.04)%H≥(;122:(0.04)%H.对于α=0.05,选取检验统计量2220(1)nS,拒绝域为22210.95(1)(9)3.325n≤.代入数据10n,220(0.04%),s2=(0.037%)2,计算得到222220(1)(101)(0.037%)(0.04%)nS=7.7013.325,不落在拒绝域内,所以在水平α=0.05下接受H0,即认为σ≥0.04%.3.有容量为100的样本,其样本均值观察值2.7x,而10021225（）iix-x.试以0.01检验假设H0:σ2=2.5．解提出假设2201:2.5;:2.5.HH对于α=0.01,选取检验统计量2220(1)nS,拒绝域为22220.9950.995121(1)(99)(2991)2nz≤=65.67,或22220.0050.00521(1)(99)(2991)2nz≥=137.96.代入数据n=100,2(1)225,ns得到2220(1)2252.5ns=90.因为65.6790137.96,即χ2的观察值不落在拒绝域内,所以在水平α=0.01下接受H0,即认为σ2=2.5.习题8-41.从总体X中抽取一个容量为80的样本,得频数分布如下表所示.区间,1(0]411(,]421(,]2343(,1]4频数6182036试在显著性水平α=0.025下检验H0:X的概率密度2,01,()0,.xxfx其它解因为22/4(1)/41(1){}2,4416iiiiiiipPXxx≤di=1,2,3,4.待检假设02,01,:()0,.xxHXfx其它列计算表如表8-1所示,算得2421()1.83.iiiifnpnp表8-1第1题数据处理i区间fipinpifi-npi(fi-npi)2/npi11(0,]460.0625510.20211(,]42180.18751530.6031(,]234200.321525-51.0043(,1]4360.43753510.03查表知20.025(3)9.348,经比较知220.0251.83(3)9.348,故接受H0,认为X的概率密度为2,01,()0,.xxfx其它2.一枚骰子掷了100次,得结果如下表所示,点数123456频数fi131420171521在显著性水平α=0.05下,检验这枚骰子是否均匀.解用X表示骰子掷出的点数,P{X=i}=pi,i=1,2,…,6.如果骰子是均匀的,则pi=16,i=1,2,…,6.因此待检假设01:6iHp,i=1,2,…,6.计算检验统计量221()niiiifnpnp的值,得2222222100100100[(13)(14)(20)666100100100100(17)(15)(21)]66663.2.查表知20.05(61)11.071,经比较知220.053.2(5)11.071,故接受H0,认为骰子是均匀的.