线性代数试卷和答案详细讲解

word格式文档专业整理《线性代数A》试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人word格式文档专业整理一．单项选择题（每小题3分，共30分）1．设A经过初等行变换变为B，则（）.(下面的(),()rArB分别表示矩阵,AB的秩)。()A()()rArB；()B()()rArB；()C()()rArB；()D无法判定()rA与()rB之间的关系。2．设A为(2)nn阶方阵且||0A，则（）。()AA中有一行元素全为零；()BA有两行（列）元素对应成比例；()CA中必有一行为其余行的线性组合；()DA的任一行为其余行的线性组合。3.设,AB是n阶矩阵(2n),ABO,则下列结论一定正确的是:()();AAOBO或()AXBB的每个行向量都是齐次线性方程组=O的解.();CBAO()()().DRARBn4．下列不是n维向量组12,,...,s线性无关的充分必要条件是（）()A存在一组不全为零的数12,,...,skkk使得1122...sskkkO；()B不存在一组不全为零的数12,,...,skkk使得1122...sskkkO12(),,...,sC的秩等于s；12(),,...,sD中任意一个向量都不能用其余向量线性表示word格式文档专业整理5．设n阶矩阵(3)n1...1................1aaaaaaAaaa，若矩阵A的秩为1n，则a必为（）。()A1；()B11n；()C1；()D11n.6．四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于（）。()A12341234aaaabbbb；()B12341234aaaabbbb；()C12123434()()aabbaabb；()D23231414()()aabbaabb.7．设A为四阶矩阵且Ab，则A的伴随矩阵*A的行列式为（）。()Ab；()B2b；()C3b；()D4b8．设A为n阶矩阵满足23nAAIO，nI为n阶单位矩阵,则1A（）()nAI；()3nBAI；()3nCAI；()D3nAI9．设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。()AA与B的秩相同；()BA与B的特征值相同；()CA与B的特征矩阵相同；()DA与B的行列式相同；10．设A为n阶矩阵,则A以0为特征值是0A的（）。()A充分非必要条件；()B必要非充分条件；()C既非充分又非必要条件；()D充分必要条件；word格式文档专业整理二．填空题（每小题3分，共18分）1．计算行列式0004004304324321。2.100123100010456001001789010_______________________。3．二次型123122331(,,)fxxxxxxxxx对应的对称矩阵为。4．已知1(0,0,1)，22222(,,0)，22322(,,0)是欧氏空间3的一组标准正交基，则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为。5．已知矩阵74147144Ax的特征值为123(),12,二重则x___________。6．设123,,均为3维列向量，记矩阵123,,A，123123(,24B123,39)。如果||1A，则||B。三．(8分)23121120,10,10331ABAXB,求X。word格式文档专业整理四．（10分）设向量组1(1,1,2,3)T，2(1,1,1,1)T，3(1,3,3,5)T，4(4,2,5,6)T，5(3,1,5,7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。五．（12分）讨论线性方程组123123123211xxpxxpxxpxxx解的情况，并在有无穷多解时求其解。六．（14分）设124222421A，（1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵T，使得1TAT为对角矩阵。word格式文档专业整理七．（8分）对任意的矩阵A,证明：(1)TAA为对称矩阵,TAA为反对称矩阵；(2)A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18分）word格式文档专业整理1、256；2、132465798；3、112211221122000；4、1,2,0；5、4；6、2。三．解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此1XAB.为了求1AB,可利用下列初等行变换的方法：2312112010120101201023121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103―――――（6分）所以1278144103XAB.―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,,,,)213550113131567022621114310212011310113100000000000000000000――――（5分）从而12345,,,,的一个极大线性无关组为12,，故秩word格式文档专业整理12345{,,,,}＝2（8分）且3122，4123，5122――――（10分）五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42ppppppppppppppppppppp(分)(1)当10,(2)(1)0,ppp且时即1,2,pp且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分）(2)当1,p时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）(3)当2,p时此时方程组有无穷多组解.方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000（分）故原方程组与下列方程组同解:132311xxxx令30,x可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)T;word格式文档专业整理它对应的齐次线性方程组132300xxxx的基础解系含有一个元素,令31,x可得1(1,1,1)T为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.kkkk这里为任意常数――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421IA故A的特征值为13（二重特征值），36。――――（3分）当13时，由1()IAXO，即：123424021204240xxx得基础解系为12[1,2,0],[1,0,1]TT，故属于特征值13的所有特征向量为1122kk,12,kk不全为零的任意常数。――――（6分）当36时，由3()IAXO，即：123524028204250xxx得基础解系为3[2,1,2]T，故属于特征值26的所有特征向量为33k,3k为非零的任意常数。------(8分)(2)将12,正交化可得：word格式文档专业整理211122111,42[1,2,0],[,,1],55TT。再将其单位化得：12121252545255,,0,,,5515153TT将3单位化得：3212,,333T。――――（12分）则123,,是A的一组单位正交的特征向量，令545251532525112351535233,,0T则T是一个正交矩阵，且1336TAT。――――（14分）七．证明：(1)因为()()TTTTTTAAAAAA,因此TAA为对称矩阵。――――（2分）同理,因为()()()TTTTTTTAAAAAAAA,因此TAA为反对称矩阵。――――（4分）(2)因为11()(),22TTAAAAA――――（6分）而由(1)知1()2TAA为对称矩阵,1()2TAA为反对称矩阵,因此任何矩阵A都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8分）word格式文档专业整理