复变函数5-习题课-PPT精品文档45页

2一、重点与难点重点：难点：留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用3二、内容提要留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系对数留数留数定理留数在定积分上的应用Cdzzf)(计算dxexRdxxfdRaix)(.3;)(.2;)cos,(sin.120辐角原理路西原理41）定义如果函数)(zf0z在不解析,但)(zf在0z的某一去心邻域00zz内处处解析,则称0z)(zf为的孤立奇点.1.孤立奇点的概念与分类孤立奇点奇点2）孤立奇点的分类依据)(zf在其孤立奇点0z的去心邻域00zz内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.5定义如果洛朗级数中不含的负幂项,那末0zz0z)(zf孤立奇点称为的可去奇点.i)可去奇点6ii)极点01012020)()()()(czzczzczzczfmm0,1mcm)(01zzc,)()(1)(0zgzzzfm0zz定义如果洛朗级数中只有有限多个的10)(zz,)(0mzz负幂项,其中关于的最高幂为即级极点.0z)(zfm那末孤立奇点称为函数的或写成7极点的判定方法0z在点的某去心邻域内mzzzgzf)()()(0其中在的邻域内解析,且)(zg0z.0)(0zg)(zf的负幂项为有0zz的洛朗展开式中含有限项.(a)由定义判别(b)由定义的等价形式判别(c)利用极限)(lim0zfzz判断.8如果洛朗级数中含有无穷多个0zz那末孤立奇点0z称为)(zf的本性奇点.的负幂项,注意:在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不为.iii)本性奇点9i)零点的定义不恒等于零的解析函数)(zf如果能表示成),()()(0zzzzfm)(z0z其中在,0)(0z解析且m为某一正整数,那末0z称为)(zf的m级零点.3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系如果0z是)(zf的m级极点,那末0z就是)(1zf的m级零点.反过来也成立.102.留数记作].),(Res[0zzf域内的洛朗级数中负.))(101的系数幂项zzc为中心的圆环在即0)((zzf定义如果)(0zfz为函数的一个孤立奇点,则沿Rzzz000的某个去心邻域在内包含0z的任意一条简单闭曲线C的积分Czzfd)(的值除i2后所得的数称为.)(0的留数在zzf以111)留数定理设函数)(zf在区域D内除有限个孤nzzz,,,21外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末nkkCzzfizzf1]),(Res[π2d)(立奇点留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.12(1)如果0z为)(zf的可去奇点,则.0]),(Res[0zzf)()(lim]),(Res[0000zzfzzzzfzz如果为的一级极点,那末0z)(zfa)(2)如果0z为的本性奇点,则需将成洛朗级数求1c)(zf)(zf展开(3)如果0z为的极点,则有如下计算规则)(zf2)留数的计算方法13c)设,)()()(zQzPzf)(zP及)(zQ在0z如果,0)(,0)(,0)(000zQzQzP那末0z为一级极点,且有都解析，.)()(]),(Res[000zQzPzzf如果为的级极点,那末0z)(zfm)]()[(ddlim)!1(1]),(Res[01100zfzzzmzzfmmmzzb)14.]),(Res[1Czf也可定义为Czzfid)(π21记作Czzfizfd)(π21]),(Res[1.定义设函数)(zf在圆环域z0内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分值为)(zf在的留数.的值与C无关,则称此定Czzfid)(π213)无穷远点的留数15如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零.)(zf定理163.留数在定积分计算上的应用，令iez)(21siniieei,212izz)(21cosiieezz212π20d)sin,(cosRI1）三角函数有理式的积分当历经变程2,0时,z沿单位圆周1z的正方向绕行一周.17izzizzzzRIzd21,21122zzfzd)(1.]),(Res[π21nkkzzfi.)(1),,2,1(的孤立奇点内的为包含在单位圆周其中zfznkzk18则为偶函数如果,)(xRnkkzzRixxR10].),(Res[πd)(则次多项式为次多项式为设,2,)(,)(,)()()(nmmzQnzPzQzPzRnkkzzRiI1].),(Res[π2.)(),,2,1(在上半平面内的极点为其中zRnkzk.)(,,)(.d)(没有孤立奇点在实轴上且数高两次的次数至少比分子的次分母的有理函数是其中zRxxRxxRI2）无穷积分19则在实轴上没有孤立奇点且的次数高一次分母的次数至少比分子函数的有理是其中,)(,,)(),0(d)(zRxxRaxexRIaixnkkaixaixzezRixexR1],,)(Res[π2d)(.)(),,2,1(在上半平面内的极点为其中zRnkzk3）混合型无穷积分20,2πd1cos02mexxmx,0d1sin2xxmx).10(πsinπd1,2πdsin0aaxeexxxxax特别地214.对数留数定义具有下列形式的积分:Czzfzfid)()(π21.)(的对数留数关于曲线称为Czf,)(上解析且不为零在简单闭曲线如果Czf,以外也处处解析的内部除去有限个极点在C那么.d)()(π21PNzzfzfiC内零点的总个数,P为f(z)在C内极点的总个数.其中,N为f(z)在C且C取正向.22如果f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么f(z)在C内零点的个数等于21乘以当z沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.辐角原理路西定理,)()(内解析上和在简单闭曲线与设CCzgzf与内那么在上满足条件且在)(,)()(zfCzgzfC.)()(的零点的个数相同zgzf23三、典型例题.,)(判别类型并在扩充复平面上的奇点求下列函数zf例1;)2(;sin)1(1tan3zezzz解:0)()1(内的洛朗展式为在由于zzfzzzzzzzzzzf!7!5!31sin)(75333!9!7!5!31642zzz.)(,)(0的本性奇点是的可去奇点是得zfzzfz24;)2(1tanze解,1tanzw令,01cosz由,1tan的一级极点为zw又且为本性奇点仅有唯一的奇点而,zewzkzz1tanlim),1,0(π211kkzk得.)(wezf则25),1,0(π211kkzk所以.)(的本性奇点都是zf因为时当,zzzzezf1tanlim)(lim.)(的可去奇点是故知zfz,126例2求函数的奇点，并确定类型.322)1()1(sin)5()(zzzzzzf解110z,z,z是奇点.zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因为),(1zgz是单极点；所以0z1z是二级极点;1z是三级极点.27例3证明是的六级极点.0z)1(1)(33zezzf.)1(1)(033的六级极点是所以zezzfz的六级零点，是因为)1()(1033zezzfz证)1()(133zezzf!3!21296zzz,1!2)(12333zzz28例4求下列各函数在有限奇点处的留数.,11sin)1(z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz.coshsinh)4(zz解(1)在内,10z,)1(!311111sin3zzz11,)1sin(1ResCz所以.129,!5!3sin53zzzz因为内，所以在z05322!51!3111sinzzzzzz3!51!31zzz120,1sinResCzz故.61解zz1sin)2(230zzsin1)3(解),2,1,0(πnnz为奇点,0n当时为一级极点，nzznznzsin1)π(limπ因为)πsin(π)1(limπnzznznnz,π1)1(nnzzzfzzzsinlim)(lim020由.0是二级极点知z,131,π1)1(π,sin1Resnnzzn所以zzzzzzzsin1ddlim0,sin1Res20zzzzz20sincossinlim.032zzzfcoshsinh)()4(解的一级极点为)(zf,2,1,02kikzkkzzkzzzzf)(coshsinh]),(Res[故kzzzzsinhsinh.133例5计算积分.d)()sin(28zizzizz为一级极点，为七级极点.0ziz)(lim]0),(Res[0zzfzfz80)()sin(limizizz;siniiizizizzf)(1)()sin()(8iiziiziz11)()sin(822357)(1)(11)(!71)(!51)(!31)(1iziiziiiziziziz解34izi1!11!31!51!71!71!51!311]),(Res[iizf所以由留数定理得}]),(Res[]0),(Res[{π2d)()sin(28izfzfizizzizz.!71!51!311sin2iii35例6.d)1()5(3243213zzzzz解248326131151)(zzzzzzf24321115111zzz28434211125511zzzzz在内,z336)]1([π2d)1()5(3243213izzzzz故.2i1]),(Res[Czf所以,142211511zzz,1z3751255]),(Res[π2d)1)(3(1kkzzzfizzz解例7计算.d)1)(3(1255zzzz]),(Res[]3),(Res[]),(Res[51zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim]3),(Res[53zzzzfz,24213855511311)1)(3(1zzzzzz,1131156zzz,0]),(Res[zf所以51255]),(Res[π2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212i.121i39例8计算.)0(sindπ02axax解π0π0222cos1dsind