复变函数第六章共形映射习题

2一、重点与难点重点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射3二、内容提要共形映射分式线性映射一一对应性保角性保圆性的几何意义)(zf几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性幂函数指数函数zewnzw41.的几何意义).()(,,0)(.)(,,))((0000tzzCtzttztztCzttzz于点相切的向量与那么表示如果为连续函数增大方向正方向为续曲线平面内一条有向连表示设则有正向处切线的上点为起点为的方向若规定,)()(000zCzzz正向之间的夹角.)(zf轴处的切线的正向与上点就是xzCtz00)(Arg)1(5);(,)(ttzz的一条有向光滑曲线且,,)]([ztzfw正向之间与相交于一点的两条曲线11)2(CC之间的夹角.向在交点处的两条切线正与就是的夹角21,CC.0)(,,)(00zfDzDzfw且内解析在区域设:,:0参数方程的有向光滑曲线平面内过zzC)()(00zfwwCzfw平面内过映射成将映射62)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关..)()(Arg0)()1000处的转动角映射后在经过是曲线的幅角导数zzfwCzfzf3)保角性方向不变的性质,此性质称为保角性.的大小和具有保持两曲线间夹角映射)(zfw)(zfw夹角在其大小和方向上都等同于经过.2121之间的夹角与对应的曲线与映射后跟CC之间的与的任意两条曲线相交于点210CCz7.),(lim)(00000的伸缩率在为曲线的值称之间的弧长与上对应的表示弧长间的与上点表示极限zCwwzzCsszfzz4）伸缩率的后通过点是经过映射)()(00zzfwzf的形状及它与曲线的伸缩率在的任何曲线CzC,0方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.82.共形映射（保角映射）是共形映射．在是共形的，或称在变性，那末具有保角性和伸缩率不在的邻域内是解析的在设定义0000)()(,)(zzfwzzfwzzzfw也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射,称为第二类共形映射具有两个性在那末映射且0)(,0)(zzfwzf质:(1)保角性;(2)伸缩率不变性.,,)(0内一点为内解析在区域设函数DzDzfw9.),,,,0(均为常数定义dcbabcaddczbazw称为分式线性映射.任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成:;)1(bzw平移映射3.分式线性映射;)2(azw旋转与相似映射.1)3(zw反演映射10分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性..,01,性映射是保角的则分式线的两条象曲线的夹角过原点下所映成的通等于它们在映射的夹角处远的曲线在如果规定两条伸向无穷zz112.如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：1.此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.124）分式线性映射具有保对称性.这一性质称为保对称性..的一对对称点的象曲线C,,21也是关于它们的象点在分式线性映射下ww,,21那么的一对对称点是关于圆周设点Czz13:)0(可由下式给出即bcaddczbazw.::231321231321zzzzzzzz4.唯一决定分式线性映射的条件交比不变性).3,2,1(kwk依次映射成,,,321zzzz异的点平面上任意给定三个相在,,,321个相异的点平面上也任意给定三在)3,2,1(,kzk将线性映射那么就存在唯一的分式14判别方法:对确定区域的映射在分式线性映射下,C的内部不是映射成.的外部的内部便映射成CC方法1在分式线性映射下,如果在圆周C内任取,,00的内部就映为则内部的象在若一点CCzz.的外部为C,;0的内部就映则外部的象在若的内部CCzC若绕向相反,则C方法2.321321绕向相同与.的内部的内部就映为则CC.的外部的内部就映射为C15圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2)当二圆周上有一点映射成无穷远点时,这二围成的区域.3)当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.1)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域.分式线性映射对圆弧边界区域的映射:165.几个初等函数所构成的映射映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的n倍.).2()1nzwn幂函数0n0)(w00)(znnwzzw17特殊地:.2arg0除去正实轴的区域平面上共形映射成将角形域wnzzwn因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数所构成的共形映射.)(nnzwzw或根式函数)(w00)(zn2nnwzzw18)(w00)(zai.)2zew指数函数zew如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数.0)(w特殊地:0)(zi22ew映射特点:)Im(0映射成把水平的带形域az.arg0aw角形域19三、典型例题.,11,1,11,wizwz映射成且使映射成使求分式线性映射例1,10的对称点是关于圆周与因为的对称点为关于圆周又称点的性质知据分式线性映射不变对解1利用分式线性映射不变交比和对称点20iziw1,,11,1),,0,1(iiiizzww111111111即,1izziz.)1(1)1(为所求所以izziw).1(110wizizzw对应平面上的逆象为在由交比不变性知21解2,,1wiz时因,)1(izbazw所以,1,1wz时又由对称点的不变性知，,011wiz对应,1,1iab故.)1(1)1()1(1)1(为所求所以izziizziw利用不变对称点,bai故22解3将所求映射设为zzewi1,1zzA,,1wiz时因为,0)1(1i所以,11,11ii,1,1wz时又,11iA所以ziiziw11111故利用典型区域映射公式.)1(1)1(为所求izzi23例2求一个分式线性映射它将圆映成圆,且满足条件)(zfw1z1w.0)21(,0)21(ff解因映成的映射为1z1w)1(1)(azaazezfwi,21a因为,212zzewi所以24,)2(3)(2zezfi又因3421ief所以,021argf.212zzw所求映射为)2,1,0(π2kk25)(zfw12z22iw.0)2(arg,)2(fif例3求一个分式线性映射它将圆映成圆，且满足条件解,22,21wiwz令),(1gw1)(1gw,11w0,2221iiiw26,)2)2(()2(122)2(2iwiiiweziiwiwezi2)(22所以),(w与互为反函数，)(zf)(w时，当)(1gw,21211wiiwei)(11wg27，由0)2(argfiwiiwiwei2)(22)(,32ie.0得，所以iwiwz2)(22故.)1(2)2(iizizw,0)2(1argf)(argi28?11平面上的什么区域射成映将单位圆盘问分式线性映射wzzzw例4解:,1解出故从所给映射中将由已知条件zz,1wwz11zww)1)(1(122即,1)(2ww所以,21)(21ww,21)Re(w即.21)Re(1wwz平面上的半平面映为故29例5试证明在映射下,互相正交的直线族与依此映射成互相正交的直线族与圆族izew1)Re(Cz2)Im(Cz.2222Cevu证,,ivuwiyxz设,)Im(,)Re(yzxz)sin(cosxixeewyiz因为,sin,cosxevxeuyy所以,tan,222xuvevuy3021)Im(,)Re(CyzCxz又因为.tan,12222CuvevuC由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题得证.[证毕]31例6试将如图所示的区域映射到上半平面.xyOii1解,1izizw取分式线性映射.0,11wizwi映射为并将映射为将切点由分式线性映射的保圆性知：).)1((11iww且两平行的直线将两相切的圆周映射为1122iwwewi取旋转变换将铅直带形域iww)Im(00)Re(121映射为水平带形域32将水平带形域取伸缩变换,23wwiwiw)Im(0)Im(022映射为水平带形域将水平带形域取指数变换,3wew,0)Im()Im(03wiw映射为上半平面izizii123从而为所求映射.xyOii1izizw1)(1wO1i33xyOii1)(1wO1iOi)(2wOi)(3wO)(wvu12iww23ww3wew)(zfw放映结束，按Esc退出.