两角差的余弦公式教案-人教课标版(新教案)

课题：两角差的余弦公式湖南师大附中吴菲三维目标：知识目标：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。重点难点：教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式教学难点：探索过程的组织和适当引导。教学过程：一、走入生活引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力与水平方向的夹角为°,且大小为,在力的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力作用在物体上的功．解：)60cos(SFSF)60cos(．提问：、解决问题需要求什么?、你能找到哪些与有关的条件?、能否利用这些条件求出)60cos(？如果能，提出你的猜想．生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的6m8m、怎样检验这些猜想是否正确？二、合作探讨从特殊情况去猜测公式的结构形式．令cos)cos()cos(,则：令sin)2cos()cos(,2则：分析：可见，我们的公式的形式应该与sinsincoscos和均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“”、“÷”？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．用具体值检验猜想的合理性．令30,120则90cos)30120cos()cos(＝0三角函数120cos30cos120sin30sin三角函数值21232321学生再举特例进行验证．（各抒己见）利用几何画板，对更多的情况加以验证。三、提出猜想：sinsincoscos)cos(师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明．四、理论证明：引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．我们先来讨论最简单的情况：、为锐角，且方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆中，作OXP1，交单位圆于点1P，作1POP，则XOP．过点作垂直轴于，AOPPA于点1，过点应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程．鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证sincosBOMABA于点作点，过点CABPCP于点，作，则：cosOA，sinAP，且OXPPAC1sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM∴sinsincoscos)cos(（、为锐角，且）方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合．提问：当、取任意角的时候，结果又会怎样呢？（展示下一张幻灯片），大家思考一下．（给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果．若学生说出来要给予及时的肯定，若没能说出则作为课后思考作业）．方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？（引导学生发现，提出证明方法）（学生：向量的数量积！）证明：在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角、，它们终边与单位圆的交点分别为、，则：OA)sin,(cos，OB)sin,(cos)sin,)(cossin,(cos||||)cos(OBOAOBOAsinsincoscos∴)cos(sinsincoscos（≤≤）其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气．依据特殊情况进行猜想往往是人们探索问题的第一步．鼓励学生对各种)sin,(cos)sin,(cos方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！思考：、作为两向量的夹角，有没有限制条件？、如果不在［０，］这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（展示幻灯片，引导学生找到与夹角之间的关系）推广完善：令为OA、OB的夹角，①当],0[时，则sinsincoscoscos)cos(②当],0[时，则存在，使得、Zmkmk22或无论哪种情况，都有cos)cos(sinsincoscoscos)cos(即小结：两角差的余弦公式：sinsincoscos)cos(（其中、为任意角，简记为)(C）思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）五、知识运用、解决引例中的问题．、学以致用：已知,135cos),,2(,54sin是第三象限角，求)cos(．（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）可能的情况进行探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感．引导学生运用数形结合的思想给出证明．加强新3、公式的逆用：．的值求15sin2315cos21、拓广延伸：已知,135cos),,0(,54sin是第三象限角，求)cos(（此题根据学生的接受情况，作为后备练习）、公式活用：cos20,1411)cos(,71cos），求，（、且．（此题根据学生的接受情况，作为后备练习）六、回顾总结师：我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获．、公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明、在运用两角差的余弦公式时应注意：（）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．（）适当逆用公式，可达到化简计算的目的．（）灵活选取两角的形式，活用公式．七、课后思考适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪些结论？八、作业：必做：、、选做：旧知识的联系．使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识．让学生经历用向量知识解出一个数学问题的)cos(,54coscos,53sinsin求过程，体会向量方法的作用．统一对“恒等”要求的认识．运用分类讨论思想．要求学生对公式的形式加以分析，体会数学中的对称美．、学生运用所学解决实际问题．、利用变式突破学生在运用公式过程中的易错点．、对逆用公式解题加深认识。、活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想．课后思考为下节课做铺垫《两角差的余弦公式》教案说明湖南师大附中吴菲一、授课内容的数学本质与教学目标定位：《两角差的余弦公式》这节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域．针对学生已有的认知结构，我对教学目标进行了如下定位：1、知识与技能目标：学生在前两章的学习内容中，学习了单角三角函数以及向量的相关知识；初步掌握了一些同角三角函数关系式；对三角函数的定义也由锐角三角函数扩展到任意角的三角函数；会借助单位圆分析有关三角函数的问题．本节课的知识技能目标定位在掌握公式的两种证明方法上：数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建．让每个学生在头脑中再生教材，形成属于自己的知识结构体系．２、过程与方法目标：发展心理学的研究成果表明，学生的思维发展呈现一定的阶段性，高中学生在学习时有时仍要借助于具体运演思维甚至是前运演思维，具体经验对他们学习新的知识仍是必不可少的．所以在情景引入时，以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；不断激发师生之间、生生之间的互动，让学生在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想在数学探究过程中的运用．在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯，打开学生多角度、多方面分析问题的视野；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，通过对题目的一题多解、一题多变，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．、情感、态度与价值观目标：高中数学课程标准中指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读交流等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．因此，将情感、态度与价值观目标定位如下：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励学生科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感．二、学习内容的基础及今后作用：《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《锐角三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展，也是本章节中推导两角和、差，倍角、半角等三角恒等变换公式的基础，可以说是起着承上启下，串联全书的作用．在教学内容的设计上，与物理（功的定义）、哲学（透过表面寻求本质）等相关学科相联系，扩大学生对知识的理解角度和运用范围．三、教学诊断分析：学生最大的困惑在于如何得到公式．在之前的学习过程中,课堂上已基本形成了对知识大胆质疑,合作探讨的学习氛围．在本节课的教学中学生希望通过自己的努力收获成功!教学重点：两角差的余弦公式的探究和应用教学难点：两角差的余弦公式的由来及证明,引导学生通过主动参与,独立探索,自己得到结果.四、教法特点及预期效果分析：教法特点：从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位．设置了从生活走入知识，从特殊到一般，从猜想到理论证明的探究过程，在学生自主构建知识体系的过程中，设置了多条成功路径，将学习主体由学生群体转移到学生个体上，让学生在头脑中主动地对知识进行自主构建，再生课堂，达到提高认识，举一反三的作用．鼓励学生多角度、多方面思考问题，为突破知识难点，在课件中设置多个链接，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，激发学生互相评价的动机，实现预设与生成的和谐统一．本节课的教法采用了“一个主题两种教学”的设计模式．一个主题：公式探究与应用，两种教学：显形教学（知识能力教学）、隐性教学（情商培养），利用学生已有知识提出新问题，巧借学生对未知领域的好奇和自我展现的欲望，集思广益，多角度分析问题，强化团队合作意识，完善知识体系，剖析部分学生出现的错误，培养学生严密的思维习惯，突破易错点，尝试自我提高的喜悦，实践两种教学相互促进的人性化教学理念．开放课堂，在课堂上营造民主、开放、平等的教学氛围，注重教学评价的多元性，将单一的教师评价转换为学生自主评价和