直线和平面的位置关系及平面与平面的平行关系测试题

-1-直线和平面的位置关系及平面与平面的平行关系一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．“平面内有无穷多条直线都和直线l平行”是“l∥”的什么条件（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件2．如果直线l是平面的斜线，那么平面内（）A．不存在与l平行的直线B．不存在与l垂直的直线C．与l垂直的直线只有一条D．与l平行的直线有无穷多条3．平面内有一个五边形ABCDE，P为外一点，P到五边形ABCDE各边的距离相等，则这五边形（）A．必有外接圆B．必有内切圆C．既有外接圆又有内切圆D．必是菱形4．AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在的平面，若BC=1，AC=2，PC=1，则P到AB的距离为（）A．1B．2C．552D．5535．已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若c//a,cb,ba则；②若ca,cb,b//a则；③若baba//,,//则；④若a与b异面，且与则b,//a相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）A．77cmB．27cmC．55cmD．210cm7．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）A．B．C．D．-2-D1C1A1B1PDCABD1A1B1C1ABCDPE8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF，△BEF折起，使A，B，C三点重合。那么折叠后的几何体中，必有（）A．DP⊥平面PEFB．DM⊥平面PEFC．PM⊥平面DEFD．PF⊥平面DEF9．在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心.从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）A．KB．HC．GD．B′10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线二、填空（本题每小题4分，共16分）11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F、G、H分别是棱AA1、BB1、CC1、DD1的中点，请写出一个与A1O垂直的正方体的截面。12．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）①②③④⑤13．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：//,n//,n//,m//,m//,n(4)m//m//n,,na,m)3(//,n//,m//a,nm,)2(//,,,//)1(则若是两条异面直线则若则若则若nmnam上面命题中真命题的序号是．14．棱长为1的正方形ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，P是截面ABC1D1上的一动MDACBEFDP(A,B,C)EFM-3-点，求A1P+PE的最小值为．三、解答题（共84分）15．（14分）求证：一条直线和两个相交平面都平行，就和它们的交线平行．16．（14分）正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是AB，CC1，AA1，C1D1的中点，求证：平面CEM∥平面BFN．17．（14分）已知在四面体V－ABC中，各棱长均为1，四面体的截面EFGH平行于对棱VA和BC，试判断截面EFGH的形状，并求截面面积的最大值．18．（14分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3.（1）求证BCSC；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.D1A1C1B1ABCDFMEN-4-19．（14分）正三棱柱ABC－A1B1C1侧面的三条对角线AB1，BC1，CA1中，若A1C⊥AB1，求证:AB1⊥BC1.20．（14分）设异面直线a，b成600角，它们的公垂线为EF（即EF分别垂直a，b且和a，b相交于E，F点），且EF=2，线段AB的长为4，两端点A，B分别在a，b上移动，求线段AB的中点P的轨迹．参考答案一、选择题（本题每小题5分，共50分）BBBDACAACD4．解：过C作CD⊥AB交AB于D，连PD即为所求垂线。以下利用射影定理和勾股定理可求得答案为D.10．解：P到直线C1D1的距离即为PC1，所以P到C1距离和到直线BC的距离相等，所以轨迹为抛物线，选D。D1A1B1C1ABCDPE-5-二、填空题（本题每小题4分，共16分）11．GBD（AFC1H或ED1B1）；12．①④⑤13．③④14．解：如图，A1与D关于平面ABC1D1对称，连接DE，因为A1P+PE=DP+PEDE，所以DE长度为A1P+PE最小值，计算得23。三、解答题（共84分）15．（14分）证明：如图，已知b∥且b∥，过b任作平面，分别交，于a和c，…………（4分）所以b∥a且b∥c，所以a∥c，…………（8分）所以a∥，所以a∥l，所以b∥l.…………（14分）16．（14分）证明：取A1B1中点G，连GE，A1N，A1B。（4分）因为NF∥A1B，所以A1、N、F、B共面，且NF∥ME.…………（7分）又GE∥CC1且GE=CC1，所以C1G∥EC，同理A1N∥C1G，所以A1N∥EC，…（12分）所以平面CEM∥平面BFN。…………（14分）17．（14分）解：⑴因为VA∥截面EFGH，所以EH∥FG∥VA，同理EF∥HG∥BC，所以截面EFGH为平行四边形。又VA在平面ABC内的射影为BC边上的高，所以VA⊥BC，所以∠EFG=900，所以截面EFGH为矩形.…………（6分）⑵设EF=x，由CBEF+VAFG=VBVF+VBBF=1，可得FG=1－x，…………（10分）所以SEFGH=x（1－x）=－（x－21）2+41（0x1），当x=21时，截面面积有最大值为41.…………（14分）18．（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC⊥SC.…………（7分）（2）解：∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点，∴DM⊥SA.∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DM⊥SB.∴异面直线DM与SB所成的角为90°.…………（14分）19．证明：分别取AC，A1C1中点E、F，连接BE，EC1，AF，B1F，…………（4分）因为B1F⊥面A1C，所以AB1在面A1C射影为AF，所以AF⊥A1C。…………（8分）因为AEC1F为平行四边形，所以AF∥EC1，所以EC1⊥A1C。同上可证EC1为BC1在平面A1C内的射影，所以AB1⊥BC1.………（14分）D1A1C1B1ABCDFMENGVCBAEFGHEBACA1B1C1F-6-yxPOA1B120．解：如图，取EF的中点O，过O作a1∥a，b1∥b，设直线a1、b1确定平面为，则A，B在内的射影A1，B1分别在直线直线a1、b1，且线段AB中点P即为线段A1B1的中点。|A1B1|=22|EF||AB|=23，原问题即转化为求线段A1B1中点P的轨迹问题。…………（6分）在平面为内，以∠A1OB1的角平分线为x轴，O为原点建立直角坐标系。设|OA1|=m，|OB1|=n，在△A1OB1中，由余弦定理得m2－n2－mn=12……（*），…………（10分）再设P点坐标（x，y），则)(212)(232nmynmx，可得yxnyxm232232，代入*式，化简得92x+y2=1，所以所求轨迹为以O中心的椭圆92x+y2=1。…（14分）