泛函分析第二章

第一节赋范空间的基本概念.一赋范空间的定义与基本性质,:XKX定义：设是数域上的线性空间满足：,,,xyXKα1)0;00;xxx非负性2);xx齐次性αα3);xyxy三角不等式,XX则称是上的一个范数上定义了范数称为..XX赋范线性空间，记为，有时也简记为,,X命题：设是赋范线性空间定义(,),,dxyxyxy(,)Xd则是距离空间.,,,xyzX证：()(,)0;(,)00;idxyxydxyxyxy()(,)(,);iidxyxyyxdyx()(,)(,)(,).iiidxyxyxzzydxzdzydX所以是上的距离.,dxyxy按定义的距范数诱导离称为由的距离.{},,nXxXxX定义：设是赋范线性空间.若lim0,nnxx{}nxx收则敛称于，记为lim().nnnxxxxn或Banach定义：完备的赋范空间称为空间.121,,knnnxSxxxsX考虑.记若使得11,,.nkkkkSsxxs则称收敛且,X定理：设是赋范空间,则1).nnxxxx2),;nnnnxxyyxyxy1nxx证：设，则由nnnnxxxxxxxx及得.nnxxxx.nxx由此立得,.nnnnxxxxαααα:2)()()nnnnxyxyxxyy证由可推得.nnxyxynnnnnnxxxxxxααααααnnnxxxααα1nnxxn因收敛,由知有界，在上式中令，得.nnxxαα2),;nnnnxxyyxyxy,.nnnnxxxxαααα,XX定理：设是赋范空间,若是完备的且121(1)knkxxxx收敛，则121(2)knkxxxx收敛且11.kkkkxx1X反之，在赋范空间中，任意无穷级数收敛必有2BanachX收敛，则空间是空间.1,nnSxxp证：设则，11npnnnnnpSSxxxx1,0,,,,nnxNnNp因收敛故当时有ε1.nnpxxε.npnSSε从而1{}Cauchy,nkkSXx是列而完备,故收敛.在11nnkkkkxxn中令，得11.kkkkxx,(2)(1),{}nXx反之，设中任意级数收敛必有收敛且CauchyX是中任一列.111{}Cauchy,,,,2nxnmnn因是列故对当时,有ε1,2mnxx1mn特别地，当时11.(3)2mnxx221221,,,,2nnnmnnε对当时，有21.2mnxx2mn特别地，当时221.(4)2mnxx(3)由知211.2nnxx332331,,,,2nnnmn同理对当时有ε331.2mnxx(4)由知3221.2nnxx{}{},knnxx一直下去,可从中选取子列使得11(1,2,)2kknnkxxk11kknnkxx于是收敛,因此级数1112111()()()kkkknnnnnnnnkxxxxxxxx,().kknnkxxsk必收敛，其前项的部分和是设{}Cauchy,0,,,nxNmnN因是列故当时，ε.nmxxε,knnN特别地，当时，有.knnxxε,knN令则当时，.nxsε{}nxX所以收敛,即完备..二凸集,,,(0,1)XAXxyAt定义：设是线性空间,若，(1),txtyA有AX则称是中的凸集.AXA定义：设是线性空间的子集，所有包含的凸集的AA交集是凸集，则称这个凸集是集生成的凸集或集co().A的凸包，记为coAA注：是包含的最小的凸集.(0,1){|1},,(0,1),(0,1)BxXxxyBt例：记则，(1)(1)(1)1,txtytxtytt(0,1)B是凸集.1,txtyA.三赋范空间的例(1).n空间12(,,,),nnx定义ξξξBanachn所以是可分的空间.1221,nkkxξ(2)[,]ab空间()[,],xxtab定义[,]ab则是可分的Banach空间.max().atbxxt(),()[,],,xxtyytabK证：α(i)0;00;xxx(ii)max()max();atbatbxxtxtxαααα(iii)max()()max()max().atbatbatbxyxtytxtytxy()[,],{}Cauchy0nnnxxtabx证：设且是列.则ε,,NnmN当时，有max()().nmnmatbxxxtxtε,nmN即当时,()(),[,](1)nmxtxttabε{()}[,]nxtab由函数列柯西收敛原理知在上一致收敛，设()(),[,]nxtxttab()()1nxtxtm因连续，故连续.在中令，得()(),(,[,])nxtxtnNtabεnN则当时,max()().nnatbxxxtxtε.nxx所以X所以完备.[,]ab因有理数多项式全体在中稠密，[,]ab所以可分.(3).l空间{},nxlξ定义Banachl则是不可分的空间.1sup,nnxξ注：不完备的赋范空间是存在的.[0,1],()[0,1],xxt例：在中定义1[0,1],则是不完备的赋范空间.110()xxtdt，121.3.4.具体证明见教材P例(1)pLp第二节空间LebesgueE设是可测集，记(){()|()}.ppELExtxtdt()(),pxxtLE定义()BanachpLE则是可分的空间.1()ppExxtdt()PLE一.空间11,{}|.ppnnnpl设记ξξ{},pnxlξ定义Banachpl则是可分的空间.11,ppnnxξPl二.空间Lebesgue,()ExtE设是可测集是上的可测函数，000,0()\EEmExtEE若存在可测子集使得且在上()xtE有界，称在上本质有界.(){()|()}.LExtxtE在上本质有界()(),xxtLE定义()BanachLE则是不可分的空间.0000,\infsup(),mEEEEExxt.()LE三空间{}|{}.nnl记有界ξξ{},nxl定义ξBanachl则是不可分的空间.1sup,nnxξl四.空间211,0ppmE注：若并且，则12()()().ppLELELE211,pp注：若则12.pplll第三节赋范空间进一步的性质1,,XXX定义:设是赋范线性空间是的线性子空间，.一赋范空间的子空间XX上的范数也是赋范空间，称它为，1X则按照原来(赋范线性的)子空间.(1)命题：赋范空间的任一完备子空间是闭子空间；(2)BanachBanach空间的任一闭子空间是空间.11(1){}nXXxX证：设赋范空间的完备子空间，设且.nxxX1Cauchy{}CauchynxX因收敛点列必是列，故是中的列.111{},.nXxXxX而完备，故收敛于中的点从而1X所以是闭集.11:(2)Banach{}nXXxX证设是空间的闭子空间，设是任一Cauchy,0,,,NnmN列则当时,有ε.nmxxε{}Cauchy.,{}nnxXXx从而是中的列而完备故收敛.111,,nxxXxXX设因闭故.故完备.(2)BanachBanach空间的任一闭子空间是空间.{}|{},Banachnncc例：设是收敛数列证是空间.ξξ{},nxcξ证：定义Banachclc则是赋范空间且是的子空间，为证是空间，lcl注意到完备,只须证是的闭子空间.()0{}{}nnnkxxlcx设是收敛于的中点列，其中，ξ(0)0{}.0,,kxNnN则当时ξε1sup.nnxξ()(0)01sup.3nnkkkxxεξξ,,nNk于是当时对于每一个()(0).3nkkεξξ(),,{}nnknNxck取定由于当时收敛，因此ξ1,,,KkkK存在当时1()().3nnkkεξξ从而1111(0)(0)(0)()()()()(0)nnnnkkkkkkkkξξξξξξξξ.333εεεε(0)0{},.kxc即收敛所以ξ.c所以是闭的.二赋范空间的完备化X定理：设是给定的赋范空间，则存在一个完备的,XXX赋范空间使得与的一个稠密子空间等距.并且X在等距意义下，这样的空间是唯一的..三赋范空间的商空间构造商空间--从已知赋范空间构造新赋范空间的方法12,MXxxM设是线性空间的子空间.定义：1212.xxxxM则“”是等价关系(自反性，传递性，对称性).xx用表示以为代表的等价类，则.xxMXX表示所有中元的等价类全体.则{|}{|}{|\}{}.XxxXxMxXxMxXMMX在中定义线性运算：,.xyxyxxαα这样定义的运算不依赖代表元的选取.11,,,xxxyyy事实上，若，则11,.xxMyyM1111()()()(),xyxyxxyyM11().xxxxMααα111,.xyxyxxααXX容易验证是线性空间,称这个空间为关于子空间/.MXM的商空间,记为/XMXxXM定理：设是赋范空间，是的闭子空间，，infinf(,),mMyxxyxmdxM定义/XM则是赋范空间.,/,xyXMKα证：，有()0;00;ixxxMx()infinf;yxyxiixyyxαααα()','iiixxyy,则''''.xyxyxyxy''inf'inf'.xxyyxyxyxy/XM为赋范空间./,XM称为赋范商空间.BanachXMX定理:设是空间,是的闭子空间,则/BanachXM是空间.{}/Cauchy,{}nnxXMx证：设是中任一列从中选取子列{}knx，使得11,1,2,2kknnkxxk1,kkknnkyxx由商空间范数定义，对每个可选取，使得1111,22kkknnkkyxx11111111,,2nnnknkkkxxxyx于是任取级数X收敛.因完备,故112nmxyyy.().nXxxxn按中范数收敛于某一点下证记11,knkSxyy1111.,,.kkkknnknnknSxxxyxxSx则由于故1,knkxxxS因此{}{}{}Cauchyknnnxxxx因此的子列收敛于.由于是列,().nxxn故/Banach.XM所以是空间四.赋范空间的乘积构造乘积赋范空间从已知赋范空间构造新赋范空间的方法.{(,)|,}.XYxyxXyYXYXY定理：设和赋范空间.在中定义：(,),,zxyXYzxyBanachXYXY则是赋范空间.若和都是空间,则BanachXY也是空间..五赋范空间的基{},neXxX定义：设是赋范空间中的点列如果每一可唯一表成1,nnnnxeKξξchaude}r{neXS则称为中的基.(1)plp例：