关于三角形的“四心”与平面向量的结合学案

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxO是ABC的重心.证法2：如图OCOBOA02ODOAODAO2DOA、、三点共线，且O分AD为2：1O是ABC的重心（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO为ABC的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心.证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，令cbabcOABCDEOABCDEcbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa（4）OCOBOAO为ABC的外心。典型例题：例1：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心中分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的点.ADACAB2ADOAOP2APOAOPADAP2AP//AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：（03全国理4）O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的ABCDE（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A．2B．23C．3D．62．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，0OCOBOA，则OBOA()A．21B．0C．1D．213．点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A．0B．23C．45D．344．ABC的外接圆的圆心为O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA222ABOCCA，则O是ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，ABCDE则实数m=7．（06陕西）已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知ABC三个顶点CBA、、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.一、典型例题分析[例]已知点G是ABC内任意一点,点M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).(1)若存在常数,满足()(0)ABACMGMAABAC,则点G可能通过ABC的__________.(2)若点D是ABC的底边BC上的中点,满足GCGDGBGD,则点G可能通过ABC的__________.(3)若存在常数,满足0sinsinCACACBABABMAMG,则点G可能通过ABC的__________.(4)若存在常数,满足0coscosCACACBABABMAMG,则点G可能通过ABC的__________.二、综合运用2.若O点是ABC的外心,H点是ABC的垂心,且()OHmOAOBOC,求实数m的值.练习：举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为ABC内任意一点，若P点满足:来源：高考资源网高考资源网()1．(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，;2.DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且DPPBDPPCPABCEPPCEPPA为的外心;3.1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，;4.00APBCPABCBPAC为的垂心.练习练习1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=31(21OA+OB21+2OC),则点P一定为三角形ABC的（B）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点1.B取AB边的中点M，则OMOBOA2，由OP=31(21OA+OB21+2OC)可得3MCOMOP23，∴MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2．在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式：2OA＋2BC＝2OB＋2CA＝2OC＋2AB，则Ｏ为ABC的（D）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：0PAPBPC，则P为ABC的（C）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：)(ACABOAOP，则P的轨迹一定通过△ABC的（C）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：0PAPCPAPBPBPC，则P点为三角形的（D）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：0aPAbPBcPC，则P点为三角形的（B）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心6．在三角形ABC中，动点P满足：CPABCBCA222，则P点轨迹一定通过△ABC的：（B）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心7.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||ABACABAC)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又cosA||||ABACABAC=12，∠A=3，所以△ABC为等边三角形，选D．8.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=19.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点O是ABC的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点练习版权所有：高考资源网()