2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线

2017年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数）解析一、选择题...............................................................................................................................1二、填空题...............................................................................................................................3三、大题...................................................................................................................................5一、选择题【浙江卷】2．椭圆22194xy的离心率是A．133B．53C．23D．59【解析】94533e，选B.【全国1卷（理）】10.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【解析】设AB倾斜角为．作1AK垂直准线，2AK垂直x轴易知11cos22AFGFAKAKAFPPGPP（几何关系）（抛物线特性）cosAFPAF∴同理1cosPAF，1cosPBF∴22221cossinPPAB又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π22222πcossin2PPDE而24yx，即2P．∴22112sincosABDEP2222sincos4sincos224sincos241sin2421616sin2≥，当π4取等号即ABDE最小值为16，故选A【全国Ⅱ卷（理）】9.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．233【解析】取渐近线byxa，化成一般式0bxay，圆心20，到直线距离为2223bab得224ca，24e，2e．【全国III卷（理）】5.已知双曲线C:22221xyab(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则C的方程为()A.221810xyB.22145xyC.22154xyD.22143xy【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52yx，则52ba①又∵椭圆221123xy与双曲线有公共焦点，易知3c，则2229abc②由①②解得2,5ab，则双曲线C的方程为22145xy，故选B.【全国III卷（理）】10.已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13【解析】∵以12AA为直径为圆与直线20bxayab相切，∴圆心到直线距离d等于半径，∴222abdaab又∵0,0ab，则上式可化简为223ab∵222bac，可得2223aac，即2223ca∴63cea，故选A【天津卷】（5）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A.22144xyB.22188xyC.22148xyD.22184xy【解析】由题意得224,14,22188xyabcabc，故选B.二、填空题【全国1卷（理）】15.已知双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.【解析】如图，OAa，ANAMb∵60MAN，∴32APb，222234OPOAPAab∴2232tan34bAPOPab又∵tanba，∴223234bbaab，解得223ab∴221231133bea【全国2卷（理）】16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN．【解析】28yx则4p，焦点为20F，，准线:2lx，如图，M为F、N中点，故易知线段BM为梯形AFMC中位线，∵2CN，4AF，∴3ME又由定义MEMF，且MNNF，∴6NFNMMFlFNMCBAOyx【北京卷】（9）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=_______________.【解析】.1321mm【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy中,双曲线2213xy的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.【解析】右准线方程为33101010x，渐近线为33yx，则31030(,)1010P，31030(,)1010Q，1(10,0)F，2(10,0)F，则302102310S.【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy中，双曲线222210,0xyabab的右支与焦点为F的抛物线220xpxp交于,AB两点，若4AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为.三、大题【全国I卷（理）】20.（12分）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.20.解：（1）根据椭圆对称性，必过3P、4P又4P横坐标为1，椭圆必不过1P，所以过234PPP，，三点将2330112PP，，，代入椭圆方程得222113141bab，解得24a，21b∴椭圆C的方程为：2214xy．（2）①当斜率不存在时，设:AAlxmAmyBmy，，，，221121AAPAPByykkmmm得2m，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设1lykxbb∶1122AxyBxy，，，联立22440ykxbxy，整理得222148440kxkbxb122814kbxxk,21224414bxxk则22121211PAPByykkxx21212112xkxbxxkxbxxx222228888144414kbkkbkbkbk811411kbbb，又1b21bk，此时64k，存在k使得0成立．∴直线l的方程为21ykxk当2x时，1y所以l过定点21，．【全国II卷（理）】20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.．解：⑴设()Pxy，，易知(0)Nx，(0)NPy，又1022yNMNP，∴12Mxy，，又M在椭圆上．∴22122yx，即222xy．⑵设点(3)QQy，，()PPPxy，，(0)Qy，由已知：()(3)1PPPQPOPPQxyyyy，，，21OPOQOPOPOQOP，∴213OPOQOP，∴33PQPQPPQxxyyxyy．设直线OQ：3Qyyx，因为直线l与OQl垂直．∴3lQky故直线l方程为3()PPQyxxyy，令0y，得3()PQPyyxx，13PQPyyxx，∴13PQPxyyx，∵33PQPyyx，∴1(33)13PPxxx，若0Qy，则33Px，1Px，1Py，直线OQ方程为0y，直线l方程为1x，直线l过点(10)，，为椭圆C的左焦点．【全国III卷（理）】20.（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2lxmy，11(,)Axy，22(,)Bxy，联立：222yxxmy得2240ymy，2416m恒大于0，122yym，124yy．1212OAOBxxyyuuruuur12(2)(2)mymy21212(1)2()4myymyy24(1)2(2)4mmm0∴OAOBuuruuur，即O在圆M上．(2)若圆M过点P，则0APBPuuuruur1212(4)(4)(2)(2)0xxyy1212(2)(2)(2)(2)0mymyyy21212(1)(22)()80myymyy化简得2210mm解得12m或1①当12m时，:240lxy圆心为00(,)Qxy，120122yyy，0019224xy，半径2291||42rOQ则圆229185:()()4216Mxy②当1m时，:20lxy圆心为00(,)Qxy，12012yyy，0023xy，半径22||31rOQ则圆22:(3)(1)10Mxy【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.（18）解：（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=12∴C:y2=x，∴焦点坐标（14，0），准线：x=-14.（Ⅱ）设l：y=kx+12，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=22yxx，由题知A(x1，x1)，B(x1，122xyx)212ykxyxk2x2+（k-1）x+14=0，x1+x2=21kk，x1·x2=214k.1112121112221122,22xkxxyxxykxkxxxx由x1+x2=21kk，x1x2=214k，上式2111121122122124kkkxkxkxxxkx∴A为线段BM中点.【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(0)2222xyE:+abab＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.17.解:（1）∵椭圆E的离心率为12，