8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图练习题

§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案A2.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（）（A）(0,2)（B）(0,3)（C）(1,2)（D）(1,3)答案A3.下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析由几何体分析知②④中正视图和侧视图相同．答案：D4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()．A.24a2B．22a2C.22a2D.223a2解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于a224＝22a2.故选B.答案B5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为()．解析被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．答案D6．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可能是()．解析当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12.答案C7.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.答案B二、填空题8．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案19．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案③10.用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．解析由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.答案14911．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析(构造法)由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1-ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC1的长为23.答案23【点评】构造正方体，本题就很容易得出结论，此种方法在立体几何问题中较为常见，把抽象问题转化为直观问题解决．12．如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为________．解析根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h＝3.由于三视图中“宽相等”，那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为3，则该几何体的侧视图的面积为S＝12×3×3＝32.答案32三、解答题、13．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；解析(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×12×2×2×2＝2843(cm3)．14．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解析如图所示，正四棱锥S-ABCD中，高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，在Rt△SOA中，OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝22.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝12BC＝2，SO＝3，∴SE＝5，即侧面上的斜高为5.15.已知，如图一个空间几何体的三视图．(1)该空间几何体是如何构成的？(2)画出该几何体的直观图；(3)求该几何体的表面积和体积．解析(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥．(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．(3)由题意可知，该几何体是由长方体ABCD－A′B′C′D′与正四棱锥P－A′B′C′D′构成的简单几何体．由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取A′B′中点Q，连接PQ，从而PQ＝PO′2＋O′Q2＝12＋12＝2，所以该几何体表面积S＝12(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋AB·AD＝42＋12.体积V＝2×2×1＋13×2×2×1＝163.16．一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．解析如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为xcm，则OC＝22x，∴22x30＝40－x40，解得x＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22)cm.