高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。●忽视等价性变形，导致错误。x0y0⇔x+y0xy0，但x1y2与x+y3xy2不等价。【例1】已知f(x)=ax+xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤−ff求)3(f的范围。错误解法由条件得≤+≤≤+≤−622303baba②①②×2－①156≤≤a③①×2－②得32338−≤≤−b④③+④得.343)3(310,34333310≤≤≤+≤fba即错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxaxxf+=)(，其值是同时受ba和制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有+=+=22)2()1(bafbaf,解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31ffbffa−=−=).1(95)2(91633)3(ffbaf−=+=∴把)1(f和)2(f的范围代入得.337)3(316≤≤f在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】解下列各题(1)设βα、是方程0622=++−kkxx的两个实根，则22)1()1(−+−βα的最小值是不存在)D(18)C(8)B(449)A(−思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+kkαββα.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222−−=++−−+=+−++−=−+−∴kβααββαββααβα有的学生一看到449−，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根βα、∴0)6k(4k42≥+−=∆⇒.3k2k≥−≤或当3≥k时，22)1()1(−+−βα的最小值是8；当2−≤k时，22)1()1(−+−βα的最小值是18这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)已知(x+2)2+y24=1,求x2+y2的取值范围。错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+38)2+328∴当x=－83时，x2+y2有最大值283，即x2+y2的取值范围是(－∞,283]。分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+y24=1⇒(x+2)2=1－y24≤1⇒－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1∴x2+y2的取值范围是[1,283]。注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a0,b0,a+b=1,求(a+1a)2+(b+1b)2的最小值。错解(a+a1)2+(b+b1)2=a2+b2+21a+21b+4≥2ab+ab2+4≥4abab1•+4=8,∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。原式=a2+b2+21a+21b+4=(a2+b2)+(21a+21b)+4=[(a+b)2－2ab]+[(a1+b1)2－ab2]+4=(1－2ab)(1+221ba)+4，由ab≤(2ba+)2=41得：1－2ab≥1－21=21,且221ba≥16，1+221ba≥17，∴原式≥21×17+4=225(当且仅当a=b=21时，等号成立)，∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是252。●不进行分类讨论，导致错误【例4】已知数列{}na的前n项和12+=nnS，求.na错误解法.222)12()12(1111−−−−=−=+−+=−=nnnnnnnnSSa错误分析显然，当1=n时，1231111=≠==−Sa。错误原因：没有注意公式1−−=nnnSSa成立的条件是。因此在运用1−−=nnnSSa时，必须检验1=n时的情形。即：∈≥==),2()1(1NnnSnSann。●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列{}na的全n项和为nS.若9632SSS=+，求数列的公比q.错误解法,2963SSS=+qqaqqaqqa−−⋅=−−+−−∴1)1(21)1(1)1(916131，.012(363）＝整理得−−qqq1q24q,0)1q)(1q2(.01qq20q33336=−=∴=−+∴=−−≠或得方程由。错误分析在错解中，由qqaqqaqqa−−⋅=−−+−−1)1(21)1(1)1(916131，01qq2(q363）＝整理得−−时，应有1q0a1≠≠和。在等比数列中，01≠a是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q的情况，再在1≠q的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若1=q，则有.9,6,3191613aSaSaS===但01≠a，即得,2963SSS≠+与题设矛盾，故1≠q.又依题意963S2SS=+⇒qqaqqaqqa−−⋅=−−+−−1)1(21)1(1)1(916131⇒01qq2(q363）＝−−,即,0)1)(12(33=−+qq因为1≠q，所以,013≠−q所以.0123=+q解得.243−=q说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。(2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线xy22=仅有一个交点。错误解法设所求的过点)1,0(的直线为1+=kxy，则它与抛物线的交点为=+=xykxy212，消去y得.02)1(2=−+xkx整理得.01)22(22=+−+xkxk直线与抛物线仅有一个交点，,0=∆∴解得∴=.21k所求直线为.121+=xy错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为1+=kxy时，没有考虑0=k与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0≠k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1,0(，所以,0=x即y轴，它正好与抛物线xy22=相切。②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线xy22=只有一个交点。③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kxy)0(≠k,则=+=xykxy212，∴.01)22(22=+−+xkxk令,0=∆解得k=12,∴所求直线为.121+=xy综上，满足条件的直线为：.121,0,1+===xyxy《章节易错训练题》1、已知集合M={直线}，N={圆}，则M∩N中元素个数是A(集合元素的确定性)(A)0(B)0或1(C)0或2(D)0或1或22、已知A={}x|x2+tx+1=0，若A∩R*=Φ，则实数t集合T=___。{}2tt−(空集)3、如果kx2+2kx－(k+2)0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)(A)－1≤k≤0(B)－1≤k0(C)－1k≤0(D)－1k04、命题:1Ax−＜3，命题:(2)()Bxxa++＜0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是C(等号)（A）(4,)+∞（B）[)4,+∞（C）(,4)−∞−（D）(],4−∞−5、若不等式x2－logax0在(0,12)内恒成立，则实数a的取值范围是A(等号)(A)[116,1)(B)(1,+∞)(C)(116,1)(D)(12,1)∪(1,2)6、若不等式(－1)na2+n(－1)n+1对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是A(等号)(A)[－2，32)(B)(－2，32)(C)[－3，32)(D)(－3，32)7、已知定义在实数集R上的函数()fx满足：(1)1f=；当0x时，()0fx；对于任意的实数x、y都有()()()fxyfxfy+=+。证明：()fx为奇函数。(特殊与一般关系)8、已知函数f(x)=1－2xx+1，则函数()fx的单调区间是_____。递减区间(－∞，－1)和(－1，+∞)（单调性、单调区间）9、函数y=log0.5(x2－1)的单调递增区间是________。[－2，－1）（定义域）10、已知函数f(x)=EA2x－2x1Axx－1A0≤x1E（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数f(x)=logA12EA(x2+ax+2)值域为R，则实数a的取值范围是D(正确使用△≥0和△0)(A)(－2A2EA,2A2EA)(B)[－2A2EA,2A2EA](C)(－∞,－2A2EA)∪(2A2EA,+∞)(D)(－∞,－2A2EA]∪[2A2EA,+∞)12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)（A）2（B）A34EA（C）A23EA（D）013、函数y=log2(x+2)x0xx－1x≤0，f(x)的反函数f－1(x)=。63422−+++xxxx的值域是________。(－∞,52)∪(52,1)∪(1,+∞)（定义域）14、函数y=sinx(1+tanxtanAx2EA)的最小正周期是C（定义域）(A)Aπ2EA(B)π(C)2π(D)315、已知f(x)是周期为2的奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)=2x，则f(logA12EA23)=D(对数运算)(A)A2316EA(B)A1623EA(C)－A1623EA(D)－A2316E16、已知函数xbxaxxf3)(23−+=在1±=x处取得极值。（1）讨论)1(f和)1(−f是函数)(xf的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A作曲线)(xfy=的切线，求此切线方程。(2004天津)（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）17、已知tan(α－Aπ3EA)=－EAA3AE5EA则tanα=；Asinαcosα3cos2α－2sin2αEA=。EAA3AE2EA、EAA3AE3EA（化齐次式）18、若3sin2α+2sin2β－2sinα=0，则cos2α+cos2β的最小值是__。A149EA(隐含条件)19、已知sinθ+cosθ=A15EA，θ∈(0，π)，则cotθ=_______。－A34EA(隐含条件)20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2、2=b、4π=A，则∠B=B(隐含条件)（A）12π（B）6π（C）656ππ或（D）121112ππ或21、已知a0,b0,a+b=1，则(a+A1aEA)2+(b+A1bEA)2的最小值是_______。A252EA(三相等)22、已知x≠kπ(k∈Z)，函数y=sin2x+A4sin2xEA的最小值是______。5（三相等）23、求xxy22cos8sin2+=的最小值。错解1|cossin|8cos8sin22cos8sin22222xxxxxxy=⋅⋅≥+=.16,.16|2sin|16min=∴≥