2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新课标.理)

1589876959196－第1页(共14页)2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,nxxx的标准差222121()()()nsxxxxxxn其中x为样本平均数柱体体积公式VSh其中S为底面面积，h为高锥体体积公式13VSh其中S为底面面积，h为高球的表面积，体积公式24RS，334RV其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合|||2AxRx，|4BxZx，则AB＝A．0,2B．0,2C．0,2D．0,1,22．已知复数23(13)izi，z是z的共轭复数，则zz＝A．14B．12C．1D．23．曲线2xyx在点(1,1)处的切线方程为A．21yxB．21yxC．23yxD．22yx4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为A．B．C．D．5．已知命题1:p函数22xxy在R上为增函数；2:p函数22xxy在R上为减函数；xyOPP0tdO2tdO2342tdO242tdO241589876959196－第2页(共14页)则在命题112:qpp，212:qpp，312:()qpp，412:()qpp中，真命题是A．13,qqB．23,qqC．14,qqD．24,qq6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为A．100B．200C．300D．4007．如果执行右面的框图，输入5N，则输出的数等于A．54B．45C．65D．568．设偶函数()fx满足3()8(0)fxxx，则|(2)0xfx＝A．{|2xx或4}xB．{|0xx或4}xC．{|0xx或6}xD．{|2xx或2}x9．若4cos5，是第三象限的角，则1tan21tan2＝A．12B．12C．2D．210．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．2aB．273aC．2113aD．25a11．已知函数|lg|,010,()16,10,2xxfxxx若a、b、c互不相等，且()()()fafbfc，则abc的取值范围是A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)12．已知双曲线E的中心为原点，(3,0)F是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中心为(12,15)N，则E的方程为A．22136xyB．22145xyC．22163xyD．22154xy开始输入N输出S结束1,0kS1(1)SSkkkN1kk是否1589876959196－第3页(共14页)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．设()yfx为区间0,1上的连续函数，且恒有0()1fx，可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx，先产生两组（每组N个）区间0,1上的均匀随机数12,,,Nxxx和12,,,Nyyy，由此得到N个点(,)(1,2,,)iixyiN，再数出其中满足()(1,2,,)iiyfxiN的点数1N，那么由随机模拟方案可得积分10()fxdx的近似值为．14．正视图为一个三角形的几何体可以是．（写出三种）15．过点(4,1)A的圆C与直线0xy相切于点(2,1)B，则圆C的方程为．16．在△ABC中，D为边BC上一点，12BDDC，120ADB，2AD，若△ADC的面积为33，则BAC＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列na满足12a，21132nnnaa．（1）求数列na的通项公式；（2）令nnbna，求数列nb的前n项和nS．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．（1）证明：PEBC；（2）若60APBADB，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）为调查地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270ABCPDEH1589876959196－第4页(共14页)（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822()()()()()nadbcKabcdacbd20．（本小题满分12分）设1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且22||,||,|AFABBF成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点(0,1)P满足||||PAPB，求E的方程．21．（本小题满分12分）设函数2()1xfxexax．（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，已知圆上的弧ACBD，过C点的圆切线与BA的延长线交于点E，证明：（1）ACEBCD；（2）2BCBFCD．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知直线11cos,:sin,xtCyt（t为参数），2cos,:sin,xCy（为参数）．CABDE1589876959196－第5页(共14页)（1）当3时，求1C与2C的交点坐标；（2）过坐标原点O作1C的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】设函数()|24|1fxx．（1）画出函数()yfx的图像；（2）若不等式()fxax的解集为非空，求a的取值范围．2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号１23456789101112答案二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题xyO1589876959196－第6页(共14页)（1）D（2）A（3）A（4）C（5）C（6）B（7）D（8）B（9）A（10）B（11）C（12）B1.解析：{||2,}{22}AxRxxRx，{|4}{016}BxZxxZx故{0,1,2}AB.应选D.命题意图：本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题.2.解析：2331311(3)(13)(3)284(13)22313iiiziiiiii111(3)(3)444zzii.应选A.另解：由222332122(13)13iizii可得214zzz.命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算.3.解析：由2122xyxx可得122,2,12(1),21(2)xykyyxyxx应选A.命题意图：本题主要考查导数的几何意义，以及分式的导数运算和直线的点斜式等知识.4.解析：通过分析可知当0t时，点P到x轴距离d为2，于是可以排除答案A,D，再根据当4t时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0,排除答案B，应选C.命题意图：本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案.本题也可以借助解析式2sin()4dt来处理.5.解析：1p：函数22xxy在R为增函数为真命题，而函数22xxy为偶函数，则22xxy在R不可能为减函数，2p：函数22xxy在R为减函数为假命题，则1p为假命题，2p为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C.命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.6.解析：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即~(1000,0.1)B,1589876959196－第7页(共14页)而2X，则2210000.1200EXE.应选B.命题意图：本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力.7.解析：根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111101223344556S111111111151122334455666，应选D.命题意图：本题主要考查循环结构的框图、框图对应算法的功能以及列项求和.8.解析：当0x时，则0x，由偶函数满()fx足3()8(0)fxxx可得，3()()8fxfxx，则338(0)()8(0)xxfxxx，33(2)8(2)(2)(2)8(2)xxfxxx令(2)0fx，可解得4,0xx或.应选B.另解：由偶函数满()fx足3()8(0)fxxx可得3()()8fxfxx，则3(2)(2)28fxfxx，要使(2)0fx，只需3280,22xx解得4,0xx或.应选B.命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力.9.解析：由4cos5，是第三象限的角可得3sin5.311tancossin1sin152224cos21tancossin2225，应选A.另解：由4cos5，是第三象限的角可得3sin5.3sinsin52tan3421coscos125，1tan13121321tan2.命题意图：本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.10.解析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为2227()()22sin6012aaRa，球的表面积为222774123aRa，应选B.1589876959196－第8页(共14页)命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.11.解析：作出函数()fx的图象如右图，不妨设abc，则1lglg10(0,1)2abc则(10,12)abcc.应选C.命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.12.解析：由双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)xyabab，设1122(,),