2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第7章 立体几何―空间向量

学案8空间向量在立体几何中的应用返回目录1.平面的法向量直线l⊥α，取直线l的，则叫做平面α的法向量.2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则l∥α.方向向量a向量a⇔⇔u·v=0a1a2+b1b2+c1c2=0返回目录3.设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则l⊥α.若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量v=(a2,b2,c2)，则α⊥β.4.空间的角(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2，l1与l2所成的角为α，则cosα=.⇔⇔⇔⇔⇔⇔u∥v(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2u·v=0u⊥va1a2+b1b2+c1c2=0|cosu1,u2|(2)已知直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,l与α的夹角为α，则sinα=.(3)已知二面角α—l—β的两个面α和β的法向量分别为v,u,则v,u与该二面角.5.空间的距离(1)一个点到它在一个平面内的距离，叫做点到这个平面的距离.(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离都，且叫做l到α的距离.返回目录|cosv,u|相等或互补正射影相等(3)和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的.两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.(4)若平面α的一个为m，P是α外一点，A是α内任一点，则点P到α的距离d=.返回目录垂直公垂线段长度法向量|m||PA·m|返回目录如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA=AD，E,F分别为线段AB,PD的中点.求证：(1)AF∥平面PEC;(2)AF⊥平面PCD.考点一用向量证明平行、垂直问题返回目录【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AB=a,PA=AD=1,则P(0,0,1),C(a,1,0),E(,0,0),D(0,1,0),F(0,,).(1)AF=(0,,),EP=(-,0,1),EC=(,1,0),∴AF=EP+EC,又AF平面PEC,∴AF∥平面PEC.【分析】可用空间向量的坐标运算来证明.2a212121212a2a2121⊂返回目录【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基线不在平面内.(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0),∴AF·PD=(0,,)·(0,1,-1)=0,AF·CD=(0,,)·(-a,0,0)=0,∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.21212121＊对应演练＊如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱BB1,CD,AA1的中点.证明：(1)C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F.返回目录（1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则DA=(1,0,0),DE=(1,1,),C1M=(1,-1,-).设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则m·DA=0a=0m·DE=0a+b+c=0.令c=2，得m=(0,-1,2).∵m·C1M=(0,-1,2)·(1,-1,-)=0+1-1=0,∴C1M⊥m.又C1M平面ADE,∴C1M∥平面ADE.返回目录21212121{{⊂⇒(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,,-1),设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),则n·D1A1=0x=0n·D1F=0y-z=0.令y=2，则n=(0,2,1).∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0,∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.返回目录2121{{返回目录如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.考点二用向量求线线角与线面角返回目录【解析】如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1).连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH=（m，m，1）（m＞0）,由已知DH,DA=60°,由DA·DH=|DA||DH|cosDH,DA,可得2m=.解得m=，所以DH=（，，1）.12m2+222222返回目录（1）因为cosDH,CC′=所以DH,CC′=45°,即DP与CC′所成的角为45°.（2）平面AA′D′D的一个法向量DC=(0,1,0).因为cosDH,DC=所以DH,DC=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.222111022022=××+×+×212101122022=××+×+×【评析】（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系.（2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.返回目录返回目录＊对应演练＊如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证：EF⊥平面PAB;(2)设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小.2（1）证明：以D为原点，DC,DA,DP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD=1,AB=a，则C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（,0,0）,B(a,1,0),F（,,）.∴EF=（0,,）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1).∴EF·AB=0,EF·PA=0.∴EF⊥ABEF⊥PA返回目录2a2a21212121EF⊥平面PAB.}⇒返回目录(2)∵AB=BC,∴a=.从而AC=(,-1,0)，AE=（,-1,0）,EF=（0,,）.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则n·AE=0x-y=0n·EF=0y+z=0.令x=,则y=1,z=-1,∴平面AEF的一个法向量为n=(2,1,-1).设AC与平面AEF所成角为α,则sinα=|cosAC,n|=.∴AC与平面AEF所成角为arcsin.2222221222121{{21263231|n||AC||AC·n|=×=63返回目录如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB，点E,M分别图为A1B,C1C的中点，过A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.(1)求证:EM∥平面A1B1C1D1;(2)求二面角B—A1N—B1的正切值.【分析】建立空间直角坐标系求之比较简单.考点三用向量求二面角21返回目录【解析】(1)证明:建立图所示空间直角坐标系,设AB=2a,AA1=a(a＞0)，则A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a).∵E为A1B的中点，M为CC1的中点,∴E（2a,a,）,M（0,2a,）.∴EM=(-2a,a,0).∴EM∥平面A1B1C1D1.2a2a(2)设平面A1BM的法向量为n=(x,y,z).∵A1B=(0,2a,-a),BM=（-2a,0,）,∴由n⊥A1B,n⊥BM，2ay-az=0,x=,-2ax+=0.y=.∴令z=a,则n=（,,a）.而平面A1B1C1D1的法向量为n=(0,0,1)，设二面角为θ，则cosθ=又∵二面角为锐二面角,∴cosθ=从而tanθ=.即二面角B—A1N—B1的正切值为.2a2az4z2z{{得∴4a2a,21214214|n||n||n·n|11==,21214214=返回目录4545返回目录【评析】第(2)问如果直接作二面角的平面角很复杂，采用法向量起到了化繁为简的作用.这种求二面角的方法应引起我们重视.需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，要注意所求角的范围.返回目录＊对应演练＊三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，（1）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A—CC1—B的大小.32.21DCBD=（1）如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，），C1（0，1，），∵BD：DC=1：2，∴BD=BC,∴D点坐标为（，，0）.∴AD=（，，0），BC=（-，2，0），AA1=(0,0,),∵BC·AA1=0，BC·AD=0，∴BC⊥AA1，BC⊥AD，又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD，又BC平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.返回目录23331322323223223⊂（2）∵BA⊥平面ACC1A1，取m=AB=（，0，0）为平面ACC1A1的一个法向量，设平面BCC1B1的一个法向量为n=（l，m，n），则BC·n=0，CC1·n=0，-l+2m=0，l=m-m+n=0，n=m，取m=1，则n=（,1,），cosm,n=即二面A—CC1—B为arccos.返回目录233232233.515)33(1)2(·00)2(3301022222222=++++×+×+×515{{∴∴返回目录考点四用向量求距离在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.【分析】由平面SAC⊥平面ABC,SA=SC,BA=BC,可知本题可以取AC中点O为坐标原点,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,用向量法求解.3返回目录【解析】取AC的中点O,连接OS,OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）.32332∴CM=(3,,0),MN=(-1,0,),MB=(-1,,0).设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，CM·ｎ=3x+y=0MN·n=-x+z=0，则x=，y=-，∴n=（，-，1）.∴点B到平面CMN的距离d=.返回目录323322626324|n||n·MB|=取z=1,则{【评析】点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问题，这是命题的方向，要给予高度重视.返回目录＊对应演练＊如图示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的余弦值.（3）求点C到平面APB的距离.返回目录（1）证明:∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC,∴PC⊥AB.返回目录⊆（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t），∵|PB|=|AB|=2，∴t=2，P（0，0，2）取AP中点E，连接BE，CE.∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角.∵E（0，1，1），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),∴cos∠BEC=.∴二面角B