43机械工程控制基础-第2章

第2章系统的数学模型机械工程控制基础2.12.12.12.1拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯((((LaplaceLaplaceLaplaceLaplace))))变换变换变换变换2.22.22.22.2系统的微分方程系统的微分方程系统的微分方程系统的微分方程2.32.32.32.3系统的传递函数系统的传递函数系统的传递函数系统的传递函数2.42.42.42.4系统的结构图及其等效变换系统的结构图及其等效变换系统的结构图及其等效变换系统的结构图及其等效变换第2章系统的数学模型机械工程控制基础2.1.1拉氏变换及其性质2.12.12.12.1拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯((((LaplaceLaplaceLaplaceLaplace))))变换变换变换变换1拉氏变换定义函数当时有定义，而且（1）在任一有限时间区间内分段连续；（2）当时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即（M和k为实常数）)(tf0≥t∞→tktMetf≤)(第2章系统的数学模型机械工程控制基础对于一切，只要积分绝对收敛。ωσjs+=ks=σ)Re(∫∞−0)(dtetfst∫∞−=0)()(dtetfsFsts)(tf确定的函数是以复变量的拉氏变换式（又称象函数）为自变量的复变函数，称为)(sF称为的拉氏逆变换（又称原函数）。)(tf)(sF第2章系统的数学模型机械工程控制基础)]([)(1sFLtf−=)]([)(tfLsF=第2章系统的数学模型机械工程控制基础2典型函数的拉氏变换2.12.12.12.1拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯((((LaplaceLaplaceLaplaceLaplace))))变换变换变换变换（1）阶跃函数（位置函数）skdtketfLsFst===∫∞−0)]([)(单位阶跃函数，记作1(t)1(t)1(t)1(t)⎩⎨⎧≥=0100)(1tttstL1)](1[=⎩⎨⎧≥=000)(tkttf（k=const）ttt)(tr0000tRa0t)(tδ0ttt00)(tr（a）阶跃函数（b）斜坡函数（c）抛物函数（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数（f）正弦函数k)(tf)(tf)(tf1第2章系统的数学模型机械工程控制基础（2）斜坡函数（又称速度函数）20)]([)(skdtktetfLsFst===∫∞−单位斜坡函数⎩⎨⎧≥=⋅=000)(1)(ttttttf21)(ssF=（kkkk=const=const=const=const）⎩⎨⎧≥=⋅=000)(1)(tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tδk0ttt00)(tr1（a）阶跃函数（b）斜坡函数（c）抛物函数（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数（f）正弦函数第2章系统的数学模型机械工程控制基础（3333）抛物函数（又称加速度函数）30221)]([)(skdtekttfLsFst===∫∞−单位抛物函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=⋅=02100)(121)(22ttttttf31)(ssF=（kkkk=const=const=const=const）⎪⎩⎪⎨⎧≥=⋅=02100)(121)(22tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tδk0ttt00)(tr1（a）阶跃函数（b）斜坡函数（c）抛物函数（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数（f）正弦函数第2章系统的数学模型机械工程控制基础（4444）单位脉冲函数⎩⎨⎧=∞≠=000)(tttδ)(tft)(tf00)(tδt01teαteα−1tω重要性质)0()()(fdttft∫+∞∞−=δ∫∫+−==+∞∞−001)()(dttdttδδ1)()()]([0∫∫∞∞−−∞−===−dtetdtettLststδδδ第2章系统的数学模型机械工程控制基础（5555）指数函数指数增长函数指数衰减函数)(tft)(tf00)(tδt01teαteα−1tω⎩⎨⎧⋅⋅=−)(1)(1)(tetetfttαα0αααα−==∫∞−sdteeeLsttt1][0指数增长函数ααα+==∫∞−−−sdteeeLsttt1][0指数衰减函数第2章系统的数学模型机械工程控制基础（6666）正弦函数)(1sin)(tttf⋅=α)(tft)(tf00)(tδt01teαteα−1tω220)(21][sinωωωωα+=−=∫∞−−sdteeejtLsttjtj第2章系统的数学模型机械工程控制基础（7777）余弦函数)(1cos)(tttf⋅=α220)(21][cosωωωα+=+=∫∞−−ssdteeetLsttjtj第2章系统的数学模型机械工程控制基础3拉氏变换的性质（1）线性性质)()()]()([sbGsaFtbgtafL±=±ab————————常数第2章系统的数学模型机械工程控制基础3拉氏变换的性质（2222）微分性质)0()()]([fssFtfL−=′证明：)0()()()()()]([000fssFdtetfsetfdtetftfLststst−=+=′=′∫∫∞−∞−∞−第2章系统的数学模型机械工程控制基础3拉氏变换的性质微分性质推论)0()0()0()0()()]([)1()2(21)(−−−−−−⋅⋅⋅−′−−=nnnnnnfsffsfssFstfL特别在零初始条件下0)0()0()0()1(=⋅⋅⋅=′=−nfff)()]([)(sFstfLnn=第2章系统的数学模型机械工程控制基础例求幂函数mttf=)(（其中mmmm是正整数）的拉氏变换解：0)0()0()0()1(=⋅⋅⋅=′=−mfff!)()(mtfm=smsFstfLmm!)()]([)(==1!][)(+==mmsmtLsF第2章系统的数学模型机械工程控制基础（3333）积分性质+→∫∫+=000)(1)(1])([tttdttfssFsdttfL积分性质推论+++→→−→∫∫∫∫∫∫∫⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅000020010000)(1)(1)(1)(1])([ttnttttnttnntntdttfsdttfsdttfssFsdttfL第2章系统的数学模型机械工程控制基础（3333）积分性质)(tf在tttt=0=0=0=0处连续时)(1])([0sFsdttfLt=∫)(1])([00sFsdttfLntnt=⋅⋅⋅∫∫第2章系统的数学模型机械工程控制基础（4444）位移性质)()()()]([0)(0αααα+===∫∫∞+−∞−−−sFdtetfdtetfetfeLtssttt)()]([αα−=sFtfeLt第2章系统的数学模型机械工程控制基础（4444）位移性质4)5(2]2sin[25++=−steLt4)5(5]2cos[25+++=−ssteLt435)5(!3][+=−steLt第2章系统的数学模型机械工程控制基础（5555）延迟性质)()]([sFetfLsττ−=−)(tfttω)(τ−tf0τ)(tδt0第2章系统的数学模型机械工程控制基础证明：（5555）延迟性质dtetfdtetfdtetftfLststst−∞−−∞∫∫∫−+−=−=−ττττττ)()()()]([00),0[τ∈t0)(=−τtf)()()()()]([0)(0sFedueufedueufdtetftfLssususstττττττ−−∞−+−∞−∞===−=−∫∫∫第2章系统的数学模型机械工程控制基础证明：（6666）初值定理)(lim)(lim0ssFtfst∞→→=)(lim)0(ssFfs∞→=)0()()(0fssFdtetfst−=′−∞∫0)(=∞→−sstetf由于：0)0()()(0=−=′−∞∫fssFdtetfst第2章系统的数学模型机械工程控制基础（7777）终值定理)(lim)(lim0ssFtfst→∞→=)(lim)(0ssFfs→=∞第2章系统的数学模型机械工程控制基础（8888）卷积定理两函数ffff((((tttt))))和gggg((((tttt))))的卷积∫+∞∞−−=τττdtgftgtf)()()(*)(0t时，如果0)()(==tgtf∫∫∫∫∞+∞−+∞∞−−+−+−=−=ttdtgfdtgfdtgfdtgftgtfττττττττττττ)()()()()()()()()(*)(00∫−=tdtgf0)()(τττ第2章系统的数学模型机械工程控制基础（8888）卷积定理∫+∞∞−−=τττdtgftgtf)()()(*)(∫−=tdtgf0)()(τττ)()()()()](*)([sFsGsGsFtgtfL=⋅=第2章系统的数学模型机械工程控制基础2.1.22.1.22.1.22.1.2拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换∫∞+∞−=jjstdsesFjtfββπ)(21)(]Re[isβ),2,1(nisi⋅⋅⋅=是FFFF（ssss）的奇点第2章系统的数学模型机械工程控制基础（1111）计算有理分式函数FFFF（ssss）的极点；（2222）根据极点把FFFF（ssss）的分母多项式进行因式分解、并进一步把FFFF（ssss）展开成部分分式；（3333）对FFFF（ssss）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤第2章系统的数学模型机械工程控制基础例651)(2+++=ssssF解：（1111）FFFF（ssss）的极点0652=++ss21−=s32−=s（2222）对FFFF（ssss）的分母多项式进行因式分解、并把FFFF（ssss）展开成部分分式32)3)(2(1651)(212+++=+++=+++=scscsssssssF1)3)(2(1)2(21−=++++=−=sssssc2)3)(2(1)3(32=++++=−=sssssc第2章系统的数学模型机械工程控制基础例651)(2+++=ssssF解：3221651)(2+++−=+++=ssssssF（3333）进行拉氏逆变换tteesLsLsFLtf321112]32[]21[)]([)(−−−−−+−=+++−==第2章系统的数学模型机械工程控制基础例解：)3()2(1)(3+++=ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213+++++++=+++=scscscscssssF2)3()2(1)3(334=++++=−=sssssc343221)2(3)2()2()3(1+++++++=++ssccscscss令21−==ss13−=c第2章系统的数学模型机械工程控制基础例解：)3()2(1)(3+++=ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213+++++++=+++=scscscscssssF343221)2(3)2()2()3(1+++++++=++ssccscscss2)3(122=++=−=sssdsdc2)3(1212221−=++=−=sssdsdc第2章系统的数学模型机械工程控制基础例解：)3()2(1)(3+++=ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213+++++++=+++=scscscscssssF32)2(1)2(222)3()2(1)(323+++−++++−=+++=ssssssssFtteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(]32[])2(1[])2(2[]22[)(−−−−−−+−+−=+++−++++−=tteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(]32[])2(1[])2(2[]22[)(−−−−−−+−+−=+++−++++−=第2章系统的数学模型机械工程控制基础例解：)52(1)(2+++=sssssF52)52(1)(23212++++=+++=sscscscsssssF51)52(1021=+++==ssssssc32)21(21121cjcjj++−=+−++−两边同乘以零因子212252jssss+−==++512−=c533=c第2