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当前位置:首页 > 资格认证/考试 > 专升本考试 > 71高数下册内容总结
第二学期总复习第二学期总复习机动目录上页下页返回结束向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何(一)向量代数(二)空间解析几何机动目录上页下页返回结束1、向量的概念设模:单位向量:{}zkyjxizyxa++==,,G222||zyxa++=G{}γβαcos,cos,cos||0==aaaGGG(一)向量代数222coszyxx++=α222coszyxy++=β222coszyxz++=γ方向余弦:1coscoscos222=++γβα机动目录上页下页返回结束2、向量的运算设{}321,,aaaa=G{}321,,bbbb=G{}321,,cccc=G加法:{}332211,,babababa+++=+GG数乘:{}321,,aaaaλλλλ=G点乘:332211bababa++=bababaGGGGGG,cos||||=⋅321321bbbaaakjibaGGGGG=×坐标表示:叉乘:模:bababaGGGGGG,sin||||||=×方向:成右手系并且垂直于bababaGGGGGG×,,,,几何意义:面积。为邻边的平行四边形的表示以babaGGGG,||×机动目录上页下页返回结束混合积:()cbaGGG,,cbaGGG⋅×=)(321321321cccbbbaaa=()()(),,,,,,,bacacbcbaGGGGGGGGG==()()cabcbaGGGGGG,,,,−=几何意义:()积。为棱的平行六面体的体表示以cbacbaGGGGGG,,,,baGG⊥0=⋅baGG0332211=++babababaGG//0=×baGG332211bababa==共面cbaGGG,,()0,,=cbaGGG机动目录上页下页返回结束1、平面[1]点法式0)()()(000=−+−+−zzCyyBxxA[2]一般式0=+++DCzByAx1=++czbyax[3]平面的截距式方程(二)空间解析几何2、空间直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111DzCyBxADzCyBxAL[1]一般方程pzznyymxx000−=−=−[2]对称式方程[3]参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptzzntyymtxx000机动目录上页下页返回结束3、过直线的平面束的平面束方程为:⎩⎨⎧=+++=+++00:2222211111DzCyBxADzCyBxAL::过直线ππ0)(22221111=+++++++DzCyBxADzCyBxAλ.2这个平面注意:不包括π机动目录上页下页返回结束()()()21221221221zzyyxxMM−+−+−=两点间距离公式:4、距离点),,(0000zyxP到平面ByAx+0=++DCz的距离为点到平面距离公式.||222000CBADCzByAxd+++++=到直线点),,(0000zyxM的距离为pzznyymxxL111:−=−=−点到直线的距离公式ssMMd×=10机动目录上页下页返回结束已知两直线;:111vPL方向向量为,过点则;:222vPL方向向量为,过点共面与21LL⇔异面与21LL⇔0)(2121=×⋅vvPPGG0)(2121≠×⋅vvPPGG,则它们之间的距离为异面与若21LL|||)(|212121vvvvPPdGGGG××⋅=机动目录上页下页返回结束异面直线之间的距离公式5、夹角11:nGΠ22:nGΠ两向量之间的夹角||||,cosbababaGGGGGG⋅=两平面之间的夹角||||||,cos212121nnnnGGGG⋅=ΠΠ直线与平面之间的夹角nG:ΠvLG:||||||,sinnvnvLGGGG⋅=Π两直线之间的夹角11:vLG22:vLG||||||,cos212121vvvvLLGGG⋅=机动目录上页下页返回结束6、二次曲面[1]柱面母线平行于z轴,准线为:⎩⎨⎧==00),(zyxF的柱面方程为:0),(=yxF[2]旋转曲面0),(00),(:22=+±⎩⎨⎧==zyxFxzyxFL:曲面方程为轴旋转一周所成的旋转绕曲线机动目录上页下页返回结束[3]二次曲面(2)椭球面1222222=++czbyax(1)球面2202020)()()(Rzzyyxx=−+−+−(3)单叶双曲面1222222=−+czbyax(4)双叶双曲面1222222−=−+czbyaxzbyax=+2222(5)椭圆抛物面zbyax=−2222(6)双曲抛物面222222czbyax=+(7)二次锥面机动目录上页下页返回结束7、空间曲线在坐标面上的投影⎩⎨⎧==0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得:曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程:⎩⎨⎧==00),(zyxH空间曲线在面上的投影曲线xoy0),(=yxH机动目录上页下页返回结束多元函数微分学多元函数微分学(一)极限与连续(二)偏导数和全微分(三)方向导数和梯度(四)极值(五)几何应用机动目录上页下页返回结束(一)极限定义的说明1、Ayxfyyxx=→→),(lim00存在是指:),(yx沿任何路径趋于),(00yx时,函数的极限都存在。2、求二元函数极限的方法:(1)利用定义及性质(夹逼准则;无穷小量乘有界变量仍为无穷小量);(2)利用一元函数的两个特殊极限及等价无穷小代换;(3)利用极坐标变换化成一元函数的极限。机动目录上页下页返回结束3、确定极限不存在的方法:(1)找两条不同路径,使),(yx沿这两条路径趋向于),(00yx时,),(yxf的极限都存在,但不相等;(2)找一条特殊路径,使),(yx沿此路径趋向于),(00yx时,),(yxf的极限不存在。机动目录上页下页返回结束(二)多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导机动目录上页下页返回结束方向导数存在证明二元函数不可微的方法要证明),(yxfz=在),(00yx不可微,只需求极限:22000000),(),(limyxyyxfxyxfzyxyxΔ+ΔΔ−Δ−Δ→Δ→Δ若此极限存在且等于0,则),(yxfz=在),(00yx可微,否则),(yxfz=在),(00yx不可微,其中),(),(0000yxfyyxxfz−Δ+Δ+=Δ1、全微分定义:),(yxfz=设=ΔzyyxfxyxfyxΔ+Δ),(),(=zdyyxfxyxfyxd),(d),(+22)()(yxΔ+Δ=ρ)(ρo+机动目录上页下页返回结束2、求偏导数1、复合函数微分法(链式法则)2、隐函数微分法(公式)3、利用全微分求偏导数机动目录上页下页返回结束3、方向导数和梯度(1)方向导数:),,(zyxfu=在),,(0000zyxM沿{}γβαcos,cos,cos=lG的方向导数为:γβαcoscoscos0000MMMMzfyfxflf∂∂+∂∂+∂∂=∂∂G(2)梯度:),,(zyxfu=在),,(0000zyxM的梯度为:00,,MMzfyfxfgradu⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=函数沿梯度方向的方向导数最大,其模为方向导数的最大值.机动目录上页下页返回结束(三)多元函数微分法的应用(三)多元函数微分法的应用1、在几何中的应用求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)空间曲线的切线与法平面).(),(),(:)1(tzztyytxx===Γ{})(),(),(tztytx′′′±=τG切向量,0),,(0),,(:)2(⎩⎨⎧==ΓzyxGzyxF切向量zyxzyxGGGFFFkji±=τG机动目录上页下页返回结束曲面的切平面与法线.0),,(:)1(=zyxFπ{}zyxFFFn,,±=G法向量⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(:)2(vuzzvuyyvuxxπvvvuuuzyxzyxkjin±=K法向量机动目录上页下页返回结束2、极值1、必要条件:极值点是稳定点。2、充分条件:),,(yxfz=若,0),(00=yxfx,0),(00=yxfy,),(00Ayxfxx=令:,),(00Byxfxy=则,),(00Cyxfyy=在点),(00yx处是否取得极值的条件如下:(1)02−BAC时有极值,当0A时有极大值,当0A时有极小值;(2)02−BAC时没有极值;(3)02=−BAC时可能有极值.),(yxf机动目录上页下页返回结束3、求函数),(yxfz=极值的一般步骤:第一步:解方程组,0),(=yxfx0),(=yxfy求出实数解,得驻点.第二步:对于每一个驻点),(00yx,求出二阶偏导数的值CBA、、.第三步:定出2BAC−的符号,再判定是否是极值.机动目录上页下页返回结束4、求条件极值的一般步骤:目标函数:),,(zyxfu=,约束条件:0),,(=zyxϕ(1)构造函数),,(),,(),,,(zyxzyxfzyxFλϕλ+=,(2)解方程0=xF,0=yF,0=zF,0=λF解出λ,,,zyx,其中zyx,,就是可能的极值点的坐标(即条件极值的稳定点)。(3)判定此稳定点是否为条件极值的极值点。机动目录上页下页返回结束重积分重积分(一)二重积分(二)三重积分(三)重积分的应用机动目录上页下页返回结束二重积分的定义:二重积分的性质:和式的极限(一)二重积分(一)二重积分机动目录上页下页返回结束几何意义:曲顶柱体的体积σdyxfVD∫∫=),(物理意义:平面薄片的质量σμdyxmD∫∫=),(1、二重积分的概念:1.如果D关于y轴对称,则(1)若f(x,y)关于x是奇函数,则I=0;(2)若f(x,y)关于x是偶函数,则dxdyyxfID∫∫=1),(22.如果D关于x轴对称,则(1)若f(x,y)关于y是奇函数,则I=0;(2)若f(x,y)关于y是偶函数,则dxdyyxfID∫∫=1),(2关于二重积分的奇偶对称性:轮换对称性:若平面有界闭区域D关于直线y=x对称,则σσdxyfdyxfDD∫∫∫∫=),(),(机动目录上页下页返回结束2、二重积分的计算(1)二重积分在直角坐标下的计算公式(在积分中要正确选择积分次序).),(),()()(21∫∫∫∫=Dbaxxdyyxfdxdyxfϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcyydxyxfdydyxfϕϕσ[X-型][Y-型](2)二重积分在极坐标系下的计算公式.)sin,cos(),(∫∫∫∫=DDrdrdrrfdxdyyxfθθθ注意利用对称性化简计算机动目录上页下页返回结束1、三重积分的概念三重积分的性质:和式的极限(二)三重积分(二)三重积分Ω=∫∫∫Ωdv的体积;三重积分的定义:奇偶对称性:若空间区域Ω被xoy平面(或yoz平面,zox平面)分成对称的两块1Ω,2Ω。(ii)若),,(zyxf关于z(或x,或y)是奇函数,则:(i)若),,(zyxf关于z(或x,或y)是偶函数,则:∫∫∫∫∫∫ΩΩ=1),,(2),,(dvzyxfdvzyxf∫∫∫Ω=2),,(2dvzyxf0),,(=∫∫∫Ωdvzyxf机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束dvzxyfdvzyxf∫∫∫∫∫∫ΩΩ=),,(),,(=轮换对称性:若空间区域Ω关于直线x=y=z对称,那么被积函数f(x,y,z)中的变量x,y,z无论怎样互换,积分值不会改变。即dvyzxfdvxzyf∫∫∫∫∫∫ΩΩ==),,(),,(2、三重积分的计算方法方法1:“先单后重”方法2:“先重后单”∫∫∫=),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyx∫∫∫Ωvzyxfd),,(∫∫∫=ZDbayxzyxfzdd),,(d∫∫∫Ωvzyxfd),,(注意利用对称性化简计算(1)三重积分在直角坐标下的计算公式机动目录上页下页返回结束∫∫∫Ωdxdydzzyxf),,(.),sin,cos(∫∫∫Ω=dzrdrdzrrfθθθ(2)三重积分在柱坐标下的计算公式(3)三重积分在直角坐标下的计算公式∫∫∫Ω=dxdydzzyxf),,(∫∫∫Ωθϕϕϕθϕθϕddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2机动目录上页下页返回结束(
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