第七章 小波分析、分析工具及应用发展

第七章小波分析、分析工具及应用发展复习回顾小波分析来源小波分析来源于信号分析的需求.设一个有限分辨率的连续信号,将其近似地表示为下列阶梯函数(图1)为简化叙述,取整数点（n）为样点,式中为样本值,而其基函数并又将其称为“尺度函数”，如图2所示.ft00nnftCtn0nCfn1010otherstt我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时信号表示为显然,这里自然取,参见(图3).我们称上述算法为二分法.再分析二分前后两个信号的偏差(图3)112nntftCn10022112nnnCCC101gtftft它具有形式,这里而其基函数如(图4)所示:它就是一种“小波函数”。顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性,譬如是局部非零的;而称之为“波”则是指它的波动性,即其振幅呈正负相间的震荡形式.又如也具有这种特性。112nntgtdn10022112nnndCC121210110tttotherssinxx小波函数的重要价值在于:它通过平移和伸缩可生成平方可积函数空间中一组正交基:,从而可将信号进行分解:为进行信号分析,提供的一组正交基是至关重要的.我们尤感兴趣的是,为了适应实际需要,利用所给的小波函数能否派生出更多、更适用的小波函数?t2LR2,,ktnknZft,2kknnkftdtn2LR再考察上述尺度函数与小波函数,它们可以看作是由函数经过下列两种不同的运算生成的(见图5):对称tt2t22102211tttttt从图5上看,和具有不同的对称性,分别记为“0”和“1”对称.tt我们再对所给小波函数反复施行所谓“0”和“1”两种对称运算,则可生成一系列小波函数,如图6所示.即施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→施行“0”对称运算→；施行“1”对称运算→………………这些小波函数组成一个函数库,图7表示自下而上地描述了小波库的生成过程.tt0tt1t0t00t0t10t1t01t1t11tMatlab中的小波分析工具箱（Wavelet3.0)Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化的小波分析工具，是一个很好的算法研究和工程设计，仿真和应用平台。特别适合于信号和图像分析，综合，去噪，压缩等领域的研究人员。小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。连续小波变换及其应用。离散小波变换及其应用。小波包变换。信号和图像的多尺度分解。基于小波变换的信号去噪。基于小波变换的信号压缩。常用的小波基函数：参数表示小波基的名称morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN紧支集正交小波symN近似对称的紧支集双正交小波coifNCoifmant小波biorNr.Nd双正交样条小波怎样获取小波基的信息：在Matlab窗口键入“waveinfo(‘参数名’）waveinfo('meyr')MEYRINFOInformationonMeyerwavelet.MeyerWaveletGeneralcharacteristics:Infinitelyregularorthogonalwavelet.FamilyMeyerShortnamemeyrOrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportnoDWTpossiblebutwithoutFWTCWTpossibleSupportwidthinfiniteEffectivesupport[-88]RegularityindefinitelyderivableSymmetryyesReference:I.Daubechies,Tenlecturesonwavelets,CBMS,SIAM,61,1994,117-119,137,152.计算小波滤波器系数的函数：参数表示小波基的名称morlet计算Morlet小波滤波器系数mexihat计算墨西哥草帽小波滤波器系数meyer计算Meyer小波与尺度滤波器系数meyeraux计算Meyer小波辅助函数dbwavf计算紧支集双正交小波滤波器系数dbaux计算紧支集双正交小波尺度滤波器系数symwavf计算近似对称的紧支集双正交小波滤波器系数coifwavf计算Coifmant小波尺度滤波器系数biowavf计算双正交样条小波尺度滤波器参数wname='bior2.2';[rf,rd]=biorwavf(wname)rf=0.25000.50000.2500rd=-0.12500.25000.75000.2500-0.1250用于验证算法的数据文件：文件名说明sumsin.mat三个正弦函数的叠加freqbrk.mat存在频率断点的组合正弦信号whitnois.mat均匀分布的白噪声warma.mat有色AR(3)噪声wstep.mat阶梯信号nearbrk.mat分段线性信号scddvbrk.mat具有二阶可微跳变的信号wnoislop.mat叠加了白噪声的斜坡信号…………1000501)3.0sin(5001)03.0sin()(.)03.0sin()3.0sin()3sin()sin(.sintttttfreqbrkmatfreqbrkttttsummatsum时频域分析有关信号处理的文献中包含了相当多采用二维时频空间的术语来分析信号的工作。这一方法实际上在小波变换之前就有，但它现在纳入同一个现代框架。根据时频域分析，一个信号的每个瞬态分量映射到时间—频率平面上的位置对应于分量的主要频率和发生的时间。时频空间（a）信号（b）表示在图像分析中，这个空间是三维的，可以看作是一个图像叠层。一个局部化分量将主要出现在叠层中对应于此分量主要频率的层次。变换一个变换中的每个系数都是通过输入函数和其中一个基函数之间的内积确定的。在某些意义上，这个值表示输入函数和那个特定基函数之间的相似程度。逆变换可以看作是通过以变换系数为幅度权重的基函数加权和，来重构原始信号或图像的。变换类型傅立叶变换技术：傅立叶积分变换，傅立叶级数展开和离散傅立叶变换DFT。小波变换类型就像博立叶变换那样，在小波变换中也同样存在这三种可能性：连续小波变换(CWT)，小波级数展开和离散小波变换(DWT)。不过情况稍微复杂些，因为小波基函数可以是正交归一也可以不是正交归一的。符号和定义由小波变换来表示的一类函数是在实轴(即所有实数的集合——x轴)上平方可积的。这一类函数被表示为。因此，概念就意味着在小波分析中，通过对一个称为小波基的单个原型函数的伸缩和平移来产生一组基函数。)(2RL)()(2RLxfdxxf2)(连续小波变换（也称积分小波变换）所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：RCdtt|||)(|0)(2^即基本小波在频域也具有好的衰减性质。有些基本小波实际上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生：0;,),(1)(,aRaatata连续小波变换定义为：连续小波变换也称为积分小波变换。连续小波逆变换为：dtattfattfaWTRaf)()(1)(),(),(,dataaWTadaCdtaWTadaCtffaf)(1),(1)(),(1)(02,02连续小波变换：格式：coefs=cwt(s,scales,’wname’)coefs=cwt(s,scales,’wname’,’plot’)说明：s:输入信号scales:需要计算的尺度范围wname:所用的小波基plot:用图像方式显示小波系数一维连续小波变换函数pat2cwav由模式构造小波cwt一维连续小波变换函数例子：c=cwt(s,1:32,'meyr')c=cwt(s,[643216:-2:2],'morl')c=cwt(s,[31812.971.5],'db2')二维连续小波定义为：二维连续小波变换是：二维连续小波逆变换为：),(1),(221121,;21abxabxaxxbba2122112121,;2121),(),(1),(),,(),;(21dxdxabxabxxxfaxxxxfbbaWTbbaf212211210321),(),;(1),(dbdbabxabxbbaWTadacxxff滤波器族解释这里将小波变换与一族带通线性（卷积）滤波器相联系，作为小波变换的一种解释。首先定义尺度a上的一般小波基函数为这是用a做尺度因子，并用a-1/2将模规范了的基本小波。若记其翻转和共轭为现在可以将连续小波变换写为：a的每个值定义了一个不同的带通滤波器，而所有的滤波器的输出加在一起组成了小波变换而且每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩后组合在一起可重构f(x)。二维滤波器族在二维情况下，每一滤波器都是一个二维冲激响应，输入是图像上的带通滤波器，滤波后的图像的叠层组成了小波变换。小波级数展开二进小波变换通常在数值计算中，采用离散化的尺度及位移因子，特别地当取二进伸缩（以2的因子伸缩）和二进位移（每次移动k/2j）时，就形成二进小波。正交小波定义为满足下列条件的小波：上式是小波级数展开公式。当进一步把f(x)和基本小波限制为在[0，1]区间外为零的函数时，上述正交小波函数族就成为紧支二进小波函数族，它可以用单一的索引n来确定：离散小波变换（DWT）离散化方式在数值计算中，需要对小波变换的尺度因子、位移因子进行离散化，一般采用如下的离散化方式：多分辨率分析小波分析之前的许多技术发展都来自于一个通常称为多分辨分析的领域。这些技术发展是企图克服傅立叶变换的局限性。对这一方法进行总结作为导出现代小波分析的基础。基本小波通过伸缩构成一组基函数，在大尺度上，膨胀的基函数搜索大的特征；而在较小的尺度上，它们则寻找细节信息。基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。离散小波变换的设计根据子带编码重构公式，在频率域上有：可见，设计一个离散小波变换的任务就是精心挑选低通滤波器。符合这一条件的离散低通滤波器脉冲响应h0(k)为尺度向量，由它产生一个有关的函数称为尺度函数。尺度向量和尺度函数彼此互相确定。例如，由尺度向量h0(k)到尺度函数的定义如下即它可以通过自身半尺度复制后的加权和来构造。另外它也能用带尺度的矩形脉冲函数卷积h0(k)，利用数值计算方法得到：带尺度的矩形脉冲函数相反，由尺度函数开始，在它满足单位平移下正交归一条件时，尺度向量的计算方法如下：二维离散小波变换为了将一维离散小波变换推广到二维，只考虑尺度函数是可分离的情况，即正变换从一幅NxN的图像f1(x,y)开始，其中上标指示尺度并且N是2的幂。对于j=0,尺度2j=20=1，也就是原图像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率减