2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40

1基于非线性最小二乘法的太阳影子定位研究摘要本文研究的是利用太阳影子随时间变化的顶点坐标数据或视频进行定位的问题。根据地理知识建立数学模型，研究影长关于多个参数的变化规律，并运用非线性最小二乘拟合，对已知影长地点的经纬度以及日期进行参数最优估计，求解得到可能的地点。针对问题一，首先根据地理知识可得，太阳下杆子的影长只由杆长及该点的太阳高度角决定，而太阳高度角由该时刻的太阳赤纬角、时角以及该点的地理纬度决定，所以根据上述几个重要参数建立了影子长度变化的数学模型，分别对单个参数进行偏导数计算，分析其正负性得到了影长关于不同参数的变化规律。为了修正大气折射率对影子长度的误差，因此建立了基于大气层折射率的影子长度变化规律优化模型。由于天安门广场的地方时与北京时间存在时差，因此对时间参数进行转换后，求解得到了修正前后的天安门广场上3m长杆在指定时间段内的影长变化曲线，通过比较可得修正前后的误差很小。针对问题二，通过分析一年内的太阳直射点纬度变换规律，得到了日期已知和日期未知的两种情况下，根据影长求出的可能地点的个数。在日期已知的情况下，基于问题一得到的影长的函数表达式，使用所给的影子顶点坐标数据，运用非线性最小二乘拟合对参数地理纬度、地理经度以及杆长进行了最优估计。同时，考虑到影子在该短时间内的偏移角度因素，因此拟合前后得到的偏移角度应相等，使用贪婪算法对解进行遍历，最终得到了可能的地点为海南省东方市，具体地点坐标为（19.2486°N，108.5571°E）。针对问题三，在日期未知的情况下，在问题二模型的基础上，增加一个日期的参数估计，建立了关于日期、地理经度、地理纬度三个变量的定位模型。使用相同的贪婪算法对解的范围进行遍历，运用非线性最小二乘拟合对地理纬度、地理经度、杆长以及日期进行拟合，最终得到了：附件二的可能日期和地点为5月27日或7月20日的新疆（39.8951E，79.7488N）、1月19日或11月25日的印度洋（39.8950W，79.7488N）；附件三的可能日期和地点为2月7日或11月5日的湖北十堰（110.2449E,32.8487N）、5月7日或8月9日的澳大利亚（110.2449E，32.8487S）。针对问题四，按照等间隔时间为2分钟对视频采样得到了21张图片，由于相机成像原理可知图片里的影子长度并非真实长度，因此采用了透视投影的交比不变性对照片中的影子长度和影子端点坐标进行提取，接着，利用问题二与问题三建立的模型对可能的地点进行求解，最终得到了拍摄日期已知时的可能地点为呼和浩特（111.0059E,40.6016N）印尼东帝汶（125.1506E,8.6525S），拍摄日期未知时可能地点为6月22日的包头(109.5805E,40.5705N)和12月20日澳大利亚西南海域（109.4265E,40.94552S）。模型检验时，做影长关于经度、纬度、日期以及杆长四个参数的灵敏度分析。考虑将附件中原始数据影长做10%的变化，再求其变化分别对所要确定的经度、纬度、日期以及杆长值均有较大的影响，运用MATLAB编程绘图求解可得影长的变化对各个参数的最优解的稳定性影响。其中，经度、纬度以及杆长与影长呈明显正相关趋势，日期与影长呈明显负相关趋势。最后，对模型的优缺点进行评价，并提出了改进方向。关键词：太阳影子定位；非线性最小二乘拟合；透视投影；交比不变性；2一．问题的背景与重述1.1问题的背景早在15世纪时，定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。随着社会和科技的不断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。1.2问题的重述太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题：1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，并将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。二．问题的分析本文主要需分析与影子长度相关的参数及影长与这些参数之间的变化规律，再根据影长与各参数之间的关系建立数学模型，对已知影长点的经纬度以及日期进行求解。针对问题一，要求影子长度变化的数学模型，首先需分析与影子长度有关的参数，根据地理知识可得，太阳下杆子的影长由杆长及该点的太阳高度角决定，而太阳高度角由该时刻的太阳赤纬角、时角以及该点的地理纬度决定，所以只需得到上述几个重要参数的计算公式，即可建立影子长度变化的数学模型。对于影长关于各个参数的变化规律，考虑分别对每个参数求偏导数，则可根据偏导数的正负来说明影长关于该参数的变化规律。同时，我们考虑到由于大气层中存在水蒸气、二氧化碳等，导致太阳光在穿过大气层时会发生折射，使模型一中求得的影长变化曲线存在误差，所以我们选择用大气层折射率对模型一进行修正，得到误差更小的模型二。最后，求天安门广场上3m长杆的影长变化曲线，只需得到模型一、二中所需参数，即可求解。考虑到由于天安门广场的经度与北京时间的经度不同，即两地存在时差，所以在参数代入t时，需根据北京时间对天安门广场的地方时间进行转换，其余参数可以根据题意及相关文献得到。最后，将所有参数代入模型一、二求解得到修正前后的天安门广场上3m长杆在指定时间段内的影长变化曲线，通过比较两者之间的误差衡量模型的修正效果。针对问题二，首先，我们分析太阳直射点不同时，在日期已知和日期未知的两种情况下，可能地点的解的个数，为后续计算结果提供参考。在日期已知的情况下，由于关于时间序列的影子顶点坐标数据已知，我们选择模型一中影长关于时间的关系式，运用非线性最小二乘拟合对参数纬度、经度以及杆长进行拟合。同时，在拟合过程中，我们还考虑到初始影子与最终影子之间的角度应为一个恒定值，即已知时间序列下的影子3变化的角度1与在相同时间段内参数估计得到的经纬度下影子变化的角度2应相等，1可根据初末状态下影子顶点坐标数据求得，2经过分析，可由初末时刻的太阳高度角求得。最后，运用遍历法求解参数的最优估计，为减少计算量，我们考虑根据问题一中所求的影长关于各参数的变化规律，缩减各参数的遍历范围，最终根据上述约束条件，求解拟合结果，即可能地点的经纬度。针对问题三，在日期未知的情况下，即在第二问的拟合基础上，增加一个日期N的参数估计，所以我们仍运用问题二中求解的模型，增加关于日期N的约束条件，运用与求附件一各参数遍历区间相同的方法求得附件二、三各参数的遍历范围，并在与问题二相同的约束条件下，分别代入附件二、三的数据，运用非线性最小二乘拟合对地理纬度、地理经度、杆长l以及日期N进行拟合，求解拟合结果。针对问题四，首先对视频进行等间隔的截取，要求视频拍摄所在地，则需要求出视频中影子的真实长度及端点的坐标值，考虑到截取的图中影子长度并非真实的长度，因此采用透视投影的交比不变性的原理求解影子顶点坐标，然后同样建立最小二乘法的拟合模型，求解可能的地点和日期。最后，做影长关于经度、纬度、日期以及杆长四个参数的灵敏度分析，从而研究参数最优解的稳定性。我们考虑对影长数据做正负10%的变化，再求得影长变化分别对杆长l、经度、纬度以及日期N的影响，分析影长对不同参数的影响程度。三．模型假设1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变；2.假设附件4中视频里的时间为北京时间；3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变；4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；四．符号说明符号表示含义单位h表示太阳高度角radH表示修正后的太阳高度角radl表示杆子的长度ms表示杆子的影长mW表示太阳赤纬角rad表示某点的地理纬度度表示某点的地理经度度表示太阳时角radn表示大气层的折射率N表示日期天t表示某一具体时刻sAs表示太阳方位角rad4五．模型的建立与求解5.1影子长度变化规律及特殊点的影长求解5.1.1影子长度变化模型要求影子长度的变化规律，即需找到决定影子长度的相关参数，以此求得其变化规律，如下图1所示：图1太阳光对杆子的投影示意图图1中，OA直线表示地平面，OB表示垂直于地平面的固定直杆，经过太阳光的照射，得到杆OB在地平面上的影子OA。由上述图1可发现，直杆影子的长度由杆长l和太阳高度角h决定，所以只需求得所用杆的长度和在某一时刻该点的太阳高度角，即可求得该时刻下的影子长度，则有tanhls（1）太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角，即图1中的角h，根据文献1可得，某点的太阳高度角由该点的地理纬度、太阳赤纬角W及时角所决定，其计算公式如下：coscoscossinsinsinhWW（2）其中，地理纬度不需计算，剩余二者的求解如下：（1）太阳赤纬角W是太阳和地心的连线与赤道所在平面之间的夹角，它以年为周期，在26.23,26.23之间变化，其中，W在夏至时达到最大值；冬至时达到最小值，根据文献2可得，其计算公式为：17398563.0cos39795.0sinNW（3）其中，N为日期，每年的1月1日为1，每延后一天则1NN。（2）时角是地球上的经度圈和经过南点的时间圈之间的夹角，每一小时间隔时角为15°。在当地时间为12点时，时角为0；12点之前，其时角为负；12点之后，其时角为正，则若某一时刻为t，该时刻的时角为：1512t（4）综上，可得关于影子长度的数学模型一建立如下：tanh/coscoscossinsinsinh151217398563.0cos39795.0sinlsWWtNW（5）分析上述模型可得，若已知具体的日期N、时间t、地理纬度以及杆长l，即可根据模型求得影子长度。55.1.2影长关于各参数的变化规律对于影子长度的模型一，我们可以得到如下表达式：)coscoscossinarcsin(sincotWWls（6）由上述表达式可知，与影长直接相关的参数有杆长l、地理纬度、太阳赤纬角W以及时角。为求影长关于这4个参数的变化规律，我们考虑4个变量分别求偏导，根据偏导数的正负来判断影长随该参数的变化规律。（1）影长与杆长对杆长l求偏导可得：)coscoscossinarcsin(sincotWWls（7）由于太阳高度角90,0h，所以0ls，即其它参数值恒定的情况下，杆长越长，影长越长,其变化规律示意图如下图2（a）所示：（a）（b）图2影长关于杆长和时间变化规律示意图（2）影长与时角对时角求偏导可得：sincoscos11sin122WQZls（8）其中，为简化公式，)coscoscossinarcsin(sinWWZ；coscoscossinsinWWQ；在下文求偏导中，QZ,的表达式同上。分析式（8），由于56.2356.239090，，，W，所以Wcoscos及均恒大于0，而5)12(t，则当某天当地的地方时间早于12点，即12t时，影子随时间逐渐变短，且变短速度逐渐下降；当某天当地的