18年高考真题——理科数学(天津卷)

第1页共7页2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（天津卷）一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设全集为R，集合|02Axx，|1Bxx，则RABð（）（A）|01xx（B）|01xx（C）|12xx（D）|02xx2．变量,xy满足约束条件52410xyxyxyy，则目标函数35zxy的最大值是（）（A）6（B）19（C）21（D）453．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）（A）1（B）2（C）3（D）44．设xR，则“11||22x”是“31x”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5．已知2logae，ln2b，121log3a，则,,abc的大小关系为（）（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab6．将函数sin25fxx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数（）（A）在区间35,44上单调递增（B）在区间3,4上单调递减（C）在区间53,42上单调递增（D）在区间3,22上单调递减7．已知双曲线222210,0xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,AB两点。设,AB到双曲线同一条渐近线的距离分别为12,dd，且126dd，则双曲线的方程为（）（A）221412xy（B）221124xy（C）22139xy（D）22193xy第2页共7页8．如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，0120BAD，1ABAD。若点E为边CD上的动点，则AEBE（）（A）2116（B）32（C）2516（D）3二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．i是虚数单位，复数6712ii。10．在512xx的展开式中，2x的系数为____________。11．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,EFGHM(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为__________。12．已知圆2220xyx的圆心为C，直线212232xtyt(t为参数)与该圆相交于,AB两点，则ABC的面积为___________。13．已知,abR，且360ab，则128ab的最小值为_____________。14．已知0a，函数2220220xaxaxfxxaxax。若关于x的方程fxax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是______________。三．解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题13分）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc。已知sincos6bAaB。⑴求角B的大小；⑵设2a，3c，求b和sin2AB的值。16．（本小题13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。⑴应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？⑵若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查。①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率。17．（本小题13分）如图，//ADBC且2ADBC，ADCD，//EGAD且EGAD，//CDFG且2CDFG，DG平面ABCD，2DADCDG。⑴若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：//MN平第3页共7页面CDE；⑵求二面角EBCF的正弦值；⑶若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为060，求线段DP的长。18．（本小题13分）设na是等比数列，公比大于0，其前n项和为nS，nb是等差数列。已知11a，322aa，435abb，5462abb。⑴求na和nb的通项公式；⑵设数列nS的前n项和为nT，①求nT；②证明：22122122nnkkkkTbbkkn。19．（本小题14分）设椭圆222210xyabab的左焦点为F，上顶点为B。已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为,0b，且||||62FBAB。⑴求椭圆的方程；⑵设直线l：0ykxk与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q。若||52sin||4AQAOQPQ(O为原点)，求k的值。20．（本小题14分）已知函数xfxa，logagxx，其中1a。⑴求函数lnhxfxxa的单调区间；⑵若曲线yfx在点11,xfx处的切线与曲线ygx在点22,xgx处的切线平行，证明：122lnlnlnaxgxa；⑶证明：当1eae时，存在直线l，使l是曲线yfx的切线，也是曲线ygx的切线。第4页共7页2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）解答一．选择题BCBADACA二．填空题9．4i；10．52；11．112；12．12；13．14；14．4,815．解：⑴由正弦定理sinsinabAB可得sinsinaBbA，故由题可得sincos6aBaB，从而可得tan3B。又因为0,B，所以3B；⑵由余弦定理可得2222cos7bacacB，故7b。又sincos6bAaB，故3sin7A。因ac，故2cos7A，从而43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA，所以33sin2sin2coscos2sin14ABABAB。16．解：⑴由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人；⑵①X的可能取值为0,1,2,3，343370,1,2,3kkCCPXkkC，所以，随机变量X的分布列如右表所示，随机变量X的数学期望112184120123353535357EX；②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥，由①知，2PBPX，1PCPX，故所求概率67PAPBCPBPC。17．解：依题意，可以建立以D为原点，分别以,,DADCDG的方向为,,xyz轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得0,0,0D，2,0,0A，1,2,0B，0,2,0C，2,0,2E，0,1,2F，0,0,2G，0,32,1M，1,0,2N。⑴由题0,2,0DC，2,0,2DE。设,,nxyz是平面CDE的法向量，则00nDCnDE，即20220yxz，取1z得1,0,1n。又1,32,1MN，故0MNn。又因为直线MN平面CDE，所以//MN平面CDE；X0123P13512351835435第5页共7页⑵由题1,0,0BC，1,2,2BE，0,1,2CF。设1111,,nxyz是平面BCE的法向量，则1100nBCnBE，即11110220xxyz，取11z得10,1,1n。设2222,,nxyz是平面BCF的法向量，则2200nBCnBF，即222020xyz，取21z得20,2,1n。故121212310cos,10||||nnnnnn，从而1210sin,10nn，所以二面角EBCF的正弦值为1010；⑶设线段DP的长为02hh，则0,0,Ph，故1,2,BPh。易知，0,2,0DC为平面ADGE的一个法向量，故2||2|cos,|||||5BPDCBPDCBPDCh。由题意得0223sin6025h，解得33h。所以线段DP的长为33。18．解：⑴设na的公比为q，nb的公差为d。则由13212aaa得220qq，因0q，故2q，从而12nna。由4355462abbabb得113431316bdbd，解得111bd，故nbn。所以12nnnabn；⑵①由⑴知122112nnnS，故11121222nnkknnkkTnn；②因1121222222212121221kkkkkkkkkkTbbkkkkkkkkk，故2112nkkkkTbbkk2121121222222212112kknnnkkknn。19．解：⑴设椭圆的焦距为2c，由已知知2259ca，又由222abc，可得23ab。由已知可得，||FBa，||2ABb，而||||62FBAB，故6ab，从而32ab。所以，椭圆的方程为22194xy；⑵设11,Pxy，2212,0Qxyyy，则12||sinyyPQAOQ。又22||2sinyAQyOAB，且||52sin||4AQAOQPQ，故212252sinsin4yAOQAOQyy，可得1259yy。由22194xyykx消去x第6页共7页可得12694kyk。易知AB：20xy，由20xyykx消去x可得221kyk。因1259yy，故251394kk，整理得25650110kk，解得12k或1128k。20．解：⑴由题lnxhxaxa，故lnlnxhxaaa。令0hx得0x，由1a知当x变化时，hx，hx的变化情况如右表所示。故函数hx的单调递减区间为,0，单调递增区间为0,；⑵由lnxfxaa可知曲线yfx在点11,xfx处的切线斜率为1lnxaa，由1lngxxa可知曲线ygx在点22,xgx处的切线斜率为21lnxa。因这两条切线平行，故121lnlnxaaxa，即122ln1xxaa。两边取对数得21log2logln0aaxxa，所以122lnln2loglnlnaaxgxaa；⑶曲线yfx在点11,xxa处的切线1l：111lnxxyaaaxx，曲线ygx在点22,logaxx处的切线2l：2221loglnayxxxxa。要证明当1eae时，存在直线l，使l是曲线yfx的切线，也是曲线ygx的切线，只需证明当1eae时，存在1,x，20,x，使得1l和2l重合。即只需证明当1eae时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaaxaaxa