第六章--数学期望与方差

授课教师：林四海联系方式：TEL：QQ：25463906613850094922一、数学期望的概念二、数学期望的性质*三、随机变量函数的数学期望四、小结6.2.1数学期望及其性质6.2随机变量的数字特征引例1分赌本问题(产生背景)A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望的概念A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为41043200),(150元而B能“期望”得到的数目,则为43041200).(50元故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为1:3即A应获得赌金的而B只能获得赌金的,43.41因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.).(15041043200元即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:2000其概率分别为:43411.离散型随机变量的数学期望定义.)().(,,.,2,1,}{111kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即记为的数学期望为随机变量则称级数绝对收敛若级数的分布律为设离散型随机变量为他们射击的分布律分别乙两个射手、甲,试问哪个射手技术较好?实例1谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,21XX数分别为设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好.实例2发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则Xp0101001000500010000510151025101051010051010000p0550102500010110000)(pXE),(5.0元每张彩票平均可赚),(2.13.05.02元每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为).(1200002.1100000元其规律为独立且两者到站的时间相互的但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站某车站每天按规定.,,00:10~00:9,00:9~00:8,到站时刻概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望求他候车时间的数学期到车站一旅客.,20:8(ii)望求他候车时间的数学期到车站一旅客实例3).(以分计设旅客的候车时间为X解的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为625063306110)(XE).(33.33分的分布律为X(ii)Xkp1063306250616170636190626162619063617061615062306310)(XE).(22.27分候车时间的数学期望为2.连续型随机变量数学期望的定义.d)()(.)(,d)(,d)(),(xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即记为的数学期望变量的值为随机则称积分绝对收敛若积分的概率密度为设连续型随机变量解xxfxXEd)()(xxxde5150).(5分钟因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例4顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?000e51)(5xxxfxxxuxvxvxuxxvxubababad)()()()(d)()(定积分的分部积分法例如计算解:原式=一般的说，如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，在多数情况下，可按顺序：指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数。将排在前面的那类函数选作'v40(sin)'dxxx4400sin()'sindxxxxx40cosdxxx2408sindxx2480cosx221821.设C是常数,则有.)(CCE证明.1)()(CCCEXE2.设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(XCECXE证明kkkpCxCXE)().(XCEkkkpxC例如,5)(XE)(3)3(XEXE则.1553二、数学期望的性质kkkkkkpypx).()(YEXE4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有).()()(YEXEXYE3.设X,Y是两个随机变量,则有).()()(YEXEYXE证明kkkkpyxYXE)()(说明连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似..),()(,,.10,20互独立并设各旅客是否下车相下车是等可能的设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以客下车就不停车如到达一个车站没有旅个车站可以下车客有旅位旅客自机场开出一机场班车载有XEX解,iX引入随机变量.10,,2,1,,1,,0iiiXi站有人下车在第站没有人下车在第.1021XXXX则实例5,109}0{20iXP则有,1091}1{20iXP.10,,2,1i.,2,1,1091)(20iXEi由此)()(1021XXXEXE得)()()(1021XEXEXE20109110).(784.8次1.离散型随机变量函数的数学期望kxXkkpxXP}{21011p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求若解的分布律先求2XY2XYp4102p31pp4p*三、随机变量函数的数学期望设随机变量X的分布律为则有)())(()(2XEXgEYE42124)(10pppp422212221)1(0pppp}.{)(41kkkxXPxg因此离散型随机变量函数的数学期望为若Y=g(X),且,,2,1,}{kpxXPkk则有.)())((1kkkpxgXgE?),,(,,0.0,0,0,e1)()(,.,.,均为已知产品应生产多少件期望最大问若要获得利润的数学度为服从指数分布其概率密件们预测销售量他再者元的损失而积压一件产品导致元利可获他们估计出售一件产品确定该产品的产量并试图产品市场某公司计划开发一种新θnmθyyθyfYnmθyY实例6解,件设生产x:的函数是则获利xQ.,,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若yyQfQEYd)()(0yθmxyθyxnmyθyxθyxde1de1)]([0,e)()(nxθnmθnmθx,0e)()(ddnnmQExθx令).ln(nmnθx得,0e)()(dd22θxθnmQEx又.)(,)ln(,取得最大值时当因此QEnmnθx实例7.,.,,,.)(求最佳的卖报份数再进一步试求其期望所得份报报卖人买进若某日偿卖不掉而退回则每份赔可得报酬如果每卖出一份报的泊松分布服从参数为卖报数设某卖报人每日的潜在卖报问题nba解:,的关系如下与则若记其真正卖报数为,,,nnn的分布为则niiknkinkkkP.,e!,,e!}{:,的关系如下与则记所得为.,,),()(nannnbag因此期望所得为)]([)(gEnMnakbknkaknkknkk)e!(])([e!10nakbankbankknkke!)(e!)(1020.)(,,,达到极大使求给定后当nMnba四、小结1.数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质).()()(,4);()()(3);()(2;)(1ooooYEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE独立一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解二、重要概率分布的方差四、小结6.2.2方差1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.实例有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时.OxOx10001000一、随机变量方差的概念及性质).(,)(}.)]({[)Var()(,)Var()(,}])({[,})]({[,222XσXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为为标准差或均方差称即或记为的方差为则称存在若是一个随机变量设2.方差的定义方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.3.方差的意义离散型随机变量的方差,)]([)(12kkkpXExXD连续型随机变量的方差,d)()]([)(2xxfXExXD4.随机变量方差的计算(1)利用定义计算.)(的概率密度为其中Xxf.,2,1,}{的分布律是其中XkpxXPkk.)]([)()(22XEXEXD证明})]({[)(2XEXEXD})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE(2)利用公式计算).()(22XEXE证明22)]([)()(CECECD5.方差的性质(1)设C是常数,则有.0)(CD22CC.0(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(2XDCCXD证明)(CXD})]({[22XEXEC).(2XDC})]({[2CXECXE).()()(YDXDYXD(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明})](){[()(2YXEYXEYXD2)]}([)]({[YEYXEXE)]}()][({[2)]([)]([22YEYXEXEYEYEXEXE).()(YDXD推广).()()()(2121nnXDXDXDXXXD则有相互独立若,,,,21nXXX即取常数以概率的充要条件是,10)()4(CXXD.1}{CXP1.两点分布qpXE01)(Xp01pp1已知随机变量X的分布律为则有,p22)]([)()(XEXEXD222)1(01ppp)1(ppp二、重要概率分布的数学期望方差2.二项分布)10(p设随机变量X服从参数为n,p二项分布,(即)其分布律为{}(1),(0,1,2,,)kknknPXkppknCnp令表示第i次试验中事件A发生的次数，是相互独立的，iXiX则有12nXXXX，其中服从同一0—1分布。iX所以有12()()()()nEXEXEXEX()inEX12()(