2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题(解析版)

第1页共9页2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题一、单选题1．如果集合，，C是A的子集，且，则这样的子集C有（）个.A．256B．959C．960D．961【答案】C【解析】【详解】满足的子集C有个，所以满足的子集C有个.故答案为：C2．等差数列中，，则前17项的和等于（）.A．0B．-34C．17D．34【答案】B【解析】【详解】设公差为d，则，结合条件可知，从而前17项的和等于.故答案为：B3．设的最小正周期为6，则的值是（）.A．0B．1C．D．【答案】A【解析】【详解】由最小正周期为6可知，即.于是当k为整数时，即每个完整周期内的6个函数值之和为零.注意，所以原式=.故答案为：A4．在以下四个数中，最大的是（）第2页共9页A．B．C．D．【答案】B【解析】【详解】考虑函数，则四个选项分别是、、、.由于，可见在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以在（0，+）上的最大值为.故答案为：B5．设复数z满足，i是虚数单位，则的值不可能是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】【详解】注意我们有.也就是说，它表示点z到3-4i的距离的倍.由于z在单位圆上，易知上式的取值范围是.故答案为：D6．下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可以得到如右图所示的粽子形状的六面体，在这个六面体中，AB与CD夹角的余弦值是（）.A．0B．1C．D．【答案】C【解析】【详解】如图所示，取中间的虚线EF，将平行四边形分为两部分，各由三个小正三角形构成.左端的三个小正三角形折起来（B和F重合），恰好是一个无底的正三棱锥，AB、EF是它的两条底边；同理，右端的三个小正三角形折起来（D和E重合）构成粽子的另一半，CD、EF也是边线.因此，折起来后，AB、CD是正三角形的两条边，它们夹角的余弦值为.第3页共9页故答案为：C二、填空题7．已知函数和的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】【详解】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：8．若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】【详解】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.第4页共9页故答案为：9．对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，，设x为正实数，若为偶数，则称x为幸运数.在区间（0，1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率为__________【答案】【解析】【详解】注意当时，；因此为偶数当且仅当，也即这些区间的长度之和为.因此，x是幸运数的概率为.故答案为：10．实数x、y满足，则的最大值是____________【答案】42【解析】【详解】注意，，，这三者相加即得.当，时等号成立，所以的最大值是42.也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值为42.故答案为：4211．凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134°、106°、134°.则内角E是___________（用度数作答）.【答案】134°【解析】【详解】不妨设边长为1，设AC、DF的中点分别为M、N，且A在DF上的射影为K，则，，，即，.第5页共9页又设，则，利用，我们有，因此，即等腰△DEF的底角为23°，可见其顶角E为134°.故答案为：134°12．半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________【答案】14【解析】【详解】设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X，半径为r.，则由对称性可知DX平面ABC.也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知，.设OX=x，则由于球A内切于球X，所以AX=r-6即①又DX=OD-OX=11-x，且由球D内切于球X可知DX=r-7于是②从①②两式可解得，即大球的半径为14.故答案为：14三、解答题13．设、、是方程的三个根，且.⑴求的整数部分；⑵求的值.【答案】（1）-2（2）【解析】【详解】由于、、是方程的根，我们有.比较两端的系数可得：第6页共9页，，.⑴由和可知.注意满足，，.所以在区间上有一个根，即.因此的整数部分为-2.⑵设，i=1，2，3.由⑴知，且.因此.注意从而.这表明，即.14．如图，、是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、、A、B四点在同一个圆上.第7页共9页【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】⑴若直线AB的斜率不存在，即切点位于实轴的顶点，则A、B的坐标分别为（1，2）、（1，-2）.这时，结论成立.若直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为.由于AB与双曲线相切，所以关于x的方程有两个相等的实根，即.整理得.由于A、B的横坐标、是方程的两个实根，我们有.注意A、B的坐标分别为（），（）.可知，，因此.⑵在与中，，且，所以.同理.这样，我们有第8页共9页.即四边形中的一组对角之和等于另一组对角之和，从而对角之和为180°，该四边形内接于圆.15．设，，正实数数列满足，且当时.求证：⑴当时，；⑵.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】⑴我们证明，当x＞0时，.令，则有，，.由知单调递增，从而.由可知单调递增，.最后，由可知单调递增，这样我们就证明了.利用这一点，立即得到.⑵我们先对n用数学归纳法证明.当n=1时，，结论成立.假设当n=m-1时有（其中）.如果，则.注意.可知，与归纳假设矛盾.因此.这样，当时有，第9页共9页令k从1到n求和，就得到.