《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》要点

北京航空航天大学偏微分方程概述及运用matlab求解微分方程求解常见问题姓名徐敏学号57000211班级380911班2011年6月偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题徐敏摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程关键词MATLAB偏微分方程程序如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。一，偏微分方程概述偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距二，偏微分方程的内容偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。三，用matlab解偏微分方程解偏微分方程不是一件轻松的事，但是偏微分方程在自然科学和工程领域中应用很广，因此，我们可以运用matlab这个软件来解决一些常见的偏微分方程。（一）Matlab偏微分方程工具箱简介。1，概述。本文只给出该工具箱的函数列表2，偏微分方程算法函数列表。adaptmesh生成自适应网络及偏微分方程的解assemb生成边界质量和刚度矩阵assema生成积分区域上质量和刚度矩阵assempde组成偏微分方程的刚度矩阵及右边hyperbolic求解双曲线型偏微分方程parabolic求解抛物线型偏微分方程pdeeig求解特征型偏微分方程pdenonlin求解非线性型微分方程poisolv利用矩阵格式快速求解泊松方程3，图形界面函数。pdecirc画圆pdeellip画椭圆pdemdlcv转化为版本1.0式的*.m文件pdepoly画多边形pderect画矩形pdetool偏微分方程工具箱的图形用户界面4，几何处理函数。csgchk检查几何矩阵的有效性csgdel删除接近边界的小区decsg将固定的几何区域分解为最小区域initmesh产生最初的三角形网络jigglemesh微调区域内的三角形网络poimesh在矩形区域上产生规则的网络refinemesh细化三角形网络wbound写一个边界描述文件wgeom写一个几何描述文件pdecont画轮廓图pdemesh画偏微分方程的三角形网络pdeplot画偏微分方程的三角形网络pdesurf画表面图命令5，通用函数。pdetriq三角形单元的品性度量poiasma边界点对快速求解泊松方程的“贡献”矩阵poicalc规范化的矩阵格式的点索引（二）Matlab偏微分方程工具箱应用。可以用词工具箱求解如椭圆方程，双曲线方程，特征值方程，抛物线方程。椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的一般形式为()(,)divcuaufxt其中：若12(,,,,)(,)nuuxxxtuxt，u为u的梯度，则其定义为12,,,nuuxxx散度()divv的定义为12()ndivvvxxx这样，()divcu可以更明确地表示为1122()nnuuudivcucccxxxxxx若c为常数，则进一步化简为22222212()ndivcucucuxxx其中，又称为Laplace算子。这样椭圆型偏微分方程可以简单地写为22222212(,)ncuaufxtxxx抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程的一般形式为()(,)uddivcuaufxtt根据上面叙述，若c为常数，则该方程可以更简单地写为22222212(,)nudcuaufxttxxx双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的一般形式为22()(,)uddivcuaufxtt若c为常数，则可以将该方程简化为2222222212(,)nudcuaufxttxxx三类方程的直接的区别在于u对t的导数的阶次。若对t没有求导，可以理解为其值为常数，故称为椭圆型的。若取u对时间t的一阶导数，则与u对x的二阶导数直接构成了抛物线关系，故称为抛物型偏微分方程。若取u对时间t的二阶导数，称其为双曲型偏微分方程。特征值型偏微分方程特征值型偏微分方程为()divcuaudu对常数c该方程可以化简为22222212(,)ncuaufxtxxx该方程是椭圆型偏微分方程的特例。pdetool的使用：在matlab命令窗口中键入pdetool窗口打开进入工作状态，pdetool提供两种解方程的方法，一种是通过函数，利用函数可以编程也可以用命令行的方式解方程，两一种是对pdetool窗口进行交互操作。一般来说，用函数解方程比较繁琐，但是比较灵活：通过窗口交互操作比较简单。解方程的全部过程以及结果都可以输出保存为文本文件。限于文本的篇幅，我们主要介绍交互操作偏微分方程的方法。1.确定待解的偏微分方程。利用函数assempde可以对待解的偏微分方程加以描述。在交互操作中，为了方便用户，pdetool把常见问题归结为及各类型，可以再pdetool窗口的工具栏上找到选择类型的弹出菜单，这些类型如下：通用问题通用系统（二维的偏微分方程组）结构力学：平面应力结构力学：平面应变静电学静磁学交流电电磁学直流电导电介质热传导扩散确定问题类型后，可以再PDESpecification对话框填入c,a,f,d等系数，这样就确定了待解的偏微分方程。2.确定边界条件用函数assemb可以描述边界条件。用pdetool提供的边界条件对话框，在对话框里填入g,h,q,r等边界条件。3.确定偏微分方程所在域的几何