解三角形学案

§1.2应用举例—①测量距离课型：新授课编写人：黄胜娣审核人：【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题知识点一基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．知识点二有关的几个术语(1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角．如图所示的θ1、θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是[0°，360°)．(2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.思考上两图中的两个方向，用方位角应表示为30°(左图)，240°(右图)．(3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角．知识点三解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．(3)主要类型【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？二、新课导学例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75.求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边..例2.如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：如上图若在河岸选取相距40米的C、D两点，BCA=60°，ACD=30°CDB=45°，BDA=60°求AB.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？【学习小结】1.解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据组为()A．α，aB．β，aC．a，b，γD．β，b2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是()A．akmB.2akmC.3akmD．2akm3．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12米B．8米C．33米D．43米4．某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好为3km，那么x的值为()A.3B．23C．23或3D．335．甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．6kmB．33kmC.32kmD．3km【课后作业】基础部分1.水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（）.A．5cmPACB．52cmC．5(21)cmD．6cm2.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时3.在ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB，则ABC的形状（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC中，已知4a，6b，120C，则sinA的值是．5.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km．提高部分1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2.某船在海面A处测得灯塔C与A相距103海里，且在北偏东30方向；测得灯塔B与A相距156海里，且在北偏西75方向.船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60方向.这时灯塔C与D相距多少海里？§1.2应用举例—②测量高度课型：新授课编写人：黄胜娣审核人：【学习目标和重点、难点】1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2.测量中的有关名称.【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1：在ABC中，cos5cos3AbBa，则ABC的形状是怎样？复习2：在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若::abc=1:1:3，求A:B:C的值.二、新课导学新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在ACE中，可测得角，关键求AC在ACD中，可测得角，线段，又有故可求得AC三、课堂巩固例1.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5440，在塔底C处测得A处的俯角=501.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)例2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西34°27′2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A．d1d2B．d1d2C．d120mD．d220m3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东5°B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°4．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(αβ)，则点A离地面的高度AB等于()A.asinαsinβsinβ－αB.asinαsinβcosβ－αC.acosαcosβsinβ－αD.acosαsinβcosβ－α5．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于()A.32B.3C.3－1D.2－1【课后作业基础部分1.在ABC中，下列关系中一定成立的是（）.A．sinabAB．sinabAC．sinabAD．sinabA2.在ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（）.A．322B．332C．32D．333.D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于（）米．A．100B．503C．50(31)D．50(31)4.在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60和30，已知塔基B高出地面20m，则塔身AB的高为_________m．5.在ABC中，22b，2a，且三角形有两解，则A的取值范围是．提高部分1.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？2.在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南偏西15°距离300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.§1.2应用举例—③测量角度课型：新授课编写人：审核人：【学习目标和重点、难点】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.【学习内容和学习过程】一、新课导入复习1：在ABC△中，已知2c，3C，且1sin32abC，求ab，.二、新课导学例1.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01nmile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB.例2.某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？手试试练1.甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(3＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南偏东60°的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.练2.某渔轮在A处测得在北偏东45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发