第九章--粘性流体绕过物体的流动

流体力学第九章粘性流体绕物体的流动实际流动都是有粘流动，目前对粘性流动研究方法主要有：1、基于N-S方程的紊流模拟.2、流体实验.流体力学本章主要讨论绕流问题，即外流问题。首先将介绍粘性流体的运动微分方程，然后将给出边界层的概念及其控制方程，最后针对绕流流动现象的一些具体问题进行了讨论。◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解◆扰流阻力及其计算◆附面层的问题本章的主要内容流体力学第一节不可压缩粘性流体的运动微分方程（纳维-斯托克斯方程）xfzfyfdydzdxdzzzxzxdxxppxxxxdxxxzxzdxxxyxyyxxzxyxxpdyyyxyx第一个下标表示应力所在平面的法线方向。第二个下标表示应力本身的方向。流体力学流体力学Mdydxyxodyyyxyxdxxxyxyyxxy分析切向应力之间的关系用图根据达朗伯原理，作用于微元平行六面体上的各力对通过中心M并与z轴相平行的轴的力矩之和应等于零。又由于质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量，可以略去不计，故有：切应力和角应变速度的关系流体力学02222dxdydzdxxdxdydzdydxdzdyydydxdzxyxyxyyxyxyx再略去四阶无穷小量，又因0dxdydzxzzxzyyzyxxy故得假若流体的粘度在各个方向上都是相同的，可得yzxxzzxxyzzyyzzxyyxxyxvzvzvyvyvxv222dtddydvx流体力学zvppyvppxvppzzzyyyxxx222在运动的粘性流体中，由于流体微团有线变形速度，于是便产生了附加法向应力，导致法向应力与压强不相等，对不可压缩流体推导的结果为：法应力和线变形速度的关系zvyvxvppppzyxzzyyxx23)(31zzyyxxpppp由连续性方程可知，其值为0流体力学现将切向应力和法向应力的关系式代入平衡方程式,化简可得不可压缩粘性流体的运动微分方程：由连续性方程可知，其值为0——纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程流体力学如果是没有粘性的理想流体，则为零，于是纳维-斯托克斯方程变成理想流体的欧拉运动微分方程。如果没有加速度，则都为零，于是上述方程变成欧拉平衡微分方程。dtdvdtdvdtdvzyx、、所以说，上述纳维-斯托克斯方程式不可压缩流体的最普遍的运动微分方程。流体力学以上三式加上不可压缩流体的连续方程：0zvyvxvzyx共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中的四个未知数和p。但是，实际上由于流体流动现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。zyxvvv、、流体力学一、平行平板间流体的定常层流流动假设:平行平板很长不可压缩粘性流体作定常层流流动采用直角坐标系z轴水平00zvvzy，yhfxgfy-dh-dy-dxbUxo第二节不可压粘性流体的层流运动流体力学质量力：代入运动方程：xhggfxsinyhggfycos)(22ghpxyvx0)(ghpyyhfxgfy-dh-dy-dxbUxo连续方程：运动方程：0122yvxpfxx0xvx01ypfy流体力学x向速度微分方程：积分两次得，212)]([21CyCyghpdxdvx)(21ghpdxdbC02C)(22ghpdxddyvdxyhfxgfy-dh-dy-dxbUxoyyyghpdxdvx）（b)(212速度分布若下板不动，上板以速度u沿流动方向运动yybghpdxdybUvx))](([2130)(1212bghpdxdUbdyvqbxV压差作用：泊肃叶流剪切作用：库埃特流流体力学二、环形管道中流体的定常层流流动zr2r1zhhdhdrsindhrdcosdzdhhfzr2r1假设:外径r1、内径r2的环形管道很长不可压缩粘性流体作定常层流流动采用圆柱坐标系z轴与管轴重合00zrvvv，流体力学zr2r1zhhdhdrsindhrdcosdzdhhfzr2r1连续方程：运动方程：01rpfr0zvz01prf0)1(122rvrrvzprfzzz流体力学zr2r1zhhdhdrsindhrdcosdzdhhfzr2r1质量力：代入运动方程：rhggfrsincoshrggf1coscoszhggfzsin0)(ghpr0)(ghp)(1)(1ghpzrvrrrz轴向速度：)(1)(1ghpdzddrdvrdrdrz流体力学212ln)]([41CrCrghpdzdvz)/ln()]([412122211rrrrghpdzdC]ln)/ln()][([411212221212rrrrrrghpdzdC积分两次得，轴向速度：]ln)/ln())[((4112122212221rrrrrrrrghpdzdvz流量：])/ln()())[((822122221424121rrrrrrghpdzdrdrvqrrzV流体力学轴向速度：流量：内圆管匀速运动Uvrrvrrzz,0,2112112122212221ln)/ln(]ln)/ln())[((41rrrrUrrrrrrrrghpdzdvz)/ln(2)(])/ln()())[((82212221222122221424121rrUrrUrrrrrrrghpdzdrdrvqrrzV流体力学库埃特流动xUvyb沿x轴无压强梯度，ρgh与p相比可忽略不计时，()0dpghdxyybghpdxdybUvx))](([21流体力学一、边界层第三节边界层的基本概念1.边界层的概念在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称为边界层。边界层在实际应用中规定从固体壁面沿外法线到速度达到势流速度的99%处的距离为边界层的厚度。2.边界层的厚度流体力学3.边界层的特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧速度梯度很大；（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；（6）边界层内流体的流动存在层流和紊流两种流动状态。流体力学4.判别边界层层流、紊流的准则数特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层Rexvxx—离物体前缘点的距离临界雷诺数65cr103~102.3Rex第四节平面层流边界层的微分方程在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为222222221()1()0xxxxxyyyyyxyyxvvvvpvvvxyxxyvvvvpvvvxyyxyvvxy（9-31）将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流的速度，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为，平板前缘至某点的距离为。取和为特征量，可定义如下的无量纲量：Vlxx/lyy/l/vvvxx/'vvvyy/'2'/vpp代入方程组9-31整理后得：（9-31a）式中雷诺数//2/2////////2/2//2//22/2//////////2/2///2///////1()Re11111()11()Re1111()()011xxxxxylyyxylyxvvvvpvvxyxxyvvvvpvvxyyxyvvxyRelvl与相比较是很小的，即或/1，同时注意到，与、与、与具有同一数量级，于是、、和的量级均为1，并可以得到：～1～1～1～为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得：＝～1xvvxy'xvxyp//xvx2//2xvx//yvx2//2yvx2/1//yvy//xvx因此~，于是又得到：~~~1~通过分析方程组（9-31a）各项的数量级，方程组（9-31a）中第二式中各惯性项可以忽略掉，同时可以略去、、。于是在方程组（9-31）的粘性项中只剩第一式中的一项。/yv//xvy2//2xvy//yvy2//2yvy/12//2xvx2//2xvy2//2yvy2//2yvx如果仅保留数量级为1的项，而将数量级比1小的各项全部略去，再恢复到有量纲的形式，便可以得到层流边界层的微分方程组为：（9-32）沿边界层外边界由伯努利方程可知：常数上式对求导，得：00122yvxvypyuxpyvvxvvyxxyxx2/2bbpxbbbdpddxdx这样，层流边界层的微分方程又可写为：（9-32a）方程组（9-32a）即为在物体壁面为平面的假设下得到的边界层微分方程。022yvxvyvdxdVVyvvxvvyxxbbxyxx第五节边界层的动量积分关系式边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直接应用动量守恒原理。下面的推导采用第二种方法。流体力学沿取出一个微小控制体边界层的动量积分关系式推导：ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCAAB面流入的质量和动量：AC面流入的质量和动量：单位时间沿x方向经控制面的动量通量：CD面流入的质量和动量：0dyvx02dyvx0202dyvxdxdyvxx00dyvxdxdyvxx0dyvxdxx0dyvxvdxx002][dyvxvdyvxdxxxAC面上流体的速度为v：流体力学ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCAAB面上的总压力：沿x方向诸外力之和为：CD面上的总压力：AC面上的总压力：p()()ppdxdxddxxpp)21(BD面上的切向力：dxwwwxpdxddxxppddxxppp))(()21(受力分析：略去二阶小量流体力学ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCA根据动量方程