2017届高三一轮：6.7《数学归纳法》ppt课件

第七节数学归纳法课前学案基础诊断课堂学案考点通关高考模拟备考套餐1.考查数学归纳法的原理和证题步骤。考纲导学2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力。夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出□1__________的推理方法叫归纳法。根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为□2____________归纳法和□3______________归纳法。2．数学归纳法(1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当n取第1个值n0时命题成立；②假设当n＝k，(k∈N＋，且k≥n0时，命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定这个命题对于n取第1个值后面的所有正整数成立。一般结论完全不完全(2)数学归纳法证题的步骤：①(归纳奠基)证明当n取第一个值□4_________时，命题成立。②(归纳递推)假设□5________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当□6________时命题也成立。只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。n＝n0n＝kn＝k＋12个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值。(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”。3点注意运用数学归纳法应注意以下三点：①n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义。②由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论。③要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数。1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0解析：边数最小的凸多边形是三角形。答案：C2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1。答案：D3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k](2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)。答案：B4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋__________。解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π。答案：π5．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________。解析：∵由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6。答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一用数学归纳法证明等式【例1】已知n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n。证明：(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，那么当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－1－12k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋1＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋1k＋1＋k＋1，所以当n＝k＋1时等式也成立。综合(1)(2)知对一切n∈N*，等式都成立。►名师点拨(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明。通关特训1f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)。求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)。证明：当n＝2时，左边＝f(1)＝1。右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立。假设n＝k时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)fk＋1－1k＋1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立。∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)。考点二用数学归纳法证明不等式【例2】用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)。证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立。(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋2k＝1＋k＋12。又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立。由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立。►名师点拨(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明。(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等。通关特训2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n－1＞2n＋12均成立。证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52。∵左边＞右边，∴不等式成立。(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋131＋15…1＋12k－1＞2k＋12。则当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－1＞2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋1＞4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12。∴当n＝k＋1时，不等式也成立。由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。考点三用数学归纳法证明整除性问题【例3】用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数。证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除。(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，方法一：42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除。方法二：因为[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13，∵42k＋1·13能被13整除，∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除。∴当n＝k＋1时命题也成立。由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除。►名师点拨用数学归纳法证明整除问题的关键用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k＋1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除。”通关特训3用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)。证明：(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除。(2)假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立。∴对任意n∈N*原命题成立。考点四归纳、猜想、证明【例4】在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an＋1an。(1)求a1，a2，a3；解析：(1)S1＝a1＝12a1＋1a1得a21＝1。∵an0，∴a1＝1，由S2＝a1＋a2＝12a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1。又由S3＝a1＋a2＋a3＝12a3＋1a3得a23＋22a3－1＝0，∴a3＝3－2。(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想。解析：(2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)。证明：①当n＝1时，a1＝1＝1－0，猜想成立。②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝k－k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak，即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，∴a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，∴ak＋1＝k＋1－k。即n＝k＋1时猜想成立。由①②知，an＝n－n－1(n∈N*)。►名师点拨(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力。(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口。通关特训4已知数列{an}中，a2＝a＋2(a为常数)，Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项。(1)求a1，a3；解析：(1)由已知得：Sn＝nan＋na2＝an＋a2·n。当n＝1时，S1＝a1，∴2a1＝a1＋a。∴a1＝a。当n＝3时，S3＝a1