【人教A版数学】2012版大一轮复习-2.6 一次函数、二次函数与幂函数

§2.6一次函数、二次函数与幂函数基础知识自主学习要点梳理1．一次函数、二次函数的图象及性质(1)一次函数y＝kx＋b，当k0时，在实数集R上是增函数，当k0时在实数集R上是减函数．b叫纵截距，当b＝0时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b≠0时函数为非奇非偶函数．(2)二次函数的解析式①二次函数的一般式为.②二次函数的顶点式为，其中顶点为.③二次函数的两根式为，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．(也就是函数的零点)根据已知条件，选择恰当的形式，利用待定系数法可求解析式．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(3)二次函数图象和性质①二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为；对称轴方程为.熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴，并会画示意图．②在对称轴的两侧单调性相反．③当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数．－b2a，4ac－b24ax＝－b2a2．幂函数(1)幂函数的定义形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是，α为.(2)幂函数的图象y＝xα自变量常数(3)幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域值域奇偶性单调性定点RRRRR奇增[0，＋∞)偶奇增增奇非奇非偶[0，＋∞)[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}{y|y∈R且y≠0}x∈[0,＋∞)时,增x∈(－∞，0]时，减x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减(0,0)，(1,1)(1,1)21xy函数特征性质[难点正本疑点清源]1．二次函数、二次方程、二次不等式的区别与联系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c的图象(a0)方程ax2＋bx＋c＝0的解x1，x2(x1x2)x0无解ax2＋bx＋c0的解集{x|xx2或xx1}{x|x∈R且x≠x0}Rax2＋bx＋c0的解集{x|x1xx2}∅∅2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．基础自测1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c0的解集是________________．解析从表中看，ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2、3.又二次函数图象开口向上，∴不等式ax2＋bx＋c0的解集是{x|x3或x－2}．{x|x3或x－2}2．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.解析对称轴x＝－a＋22＝1，又a＋b2＝1，∴b＝6.63．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝________.解析∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.又f(x)的图象过点12，22，∴12α＝22，∴α＝12.∴k＋α＝1＋12＝32.324．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．1,3，12解析当α＝1,3时，y＝xα的定义域为R且为奇函数，当α＝－1时，y＝1x的定义域为{x|x≠0，x∈R}，排除B、C，当α＝12时，的定义域为[0，＋∞)，排除D.A21xy5．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2D．－3≤a≤－2解析由于二次函数的开口向上，对称轴为x＝a，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3.点评二次函数的单调区间一定在对称轴的一侧．A题型分类深度剖析题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之，得a＝－4，b＝4，c＝7，∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知：f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－1－a24a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷．变式训练1已知二次函数的对称轴为x＝－2，截x轴上的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解方法一∵二次函数的对称轴为x＝－2，可设所求函数为f(x)＝a(x＋2)2＋b，a≠0.又∵f(x)截x轴上的弦长为4，∴f(x)过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)，又f(x)过点(0，－1)，∴4a＋b＝02a＋b＝－1，解得a＝12b＝－2，∴f(x)＝12(x＋2)2－2.方法二∵二次函数的图象的对称轴为x＝－2，且截x轴的长为4，∴f(x)经过点(－2－2,0)和(－2＋2,0)，故设f(x)＝a[x－(－2－2)][x－(－2＋2)]，又∵二次函数y＝f(x)经过点(0，－1)，∴f(0)＝a[0－(－2－2)][0－(－2＋2)]＝－1，∴a＝12.∴f(x)＝12[x－(－2－2)][x－(－2＋2)]＝12(x＋2)2－2.题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．思维启迪二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系．解f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为x＝a2，顶点为a2，－4a.(1)当a2≥1，即a≥2时，f(x)在区间[0,1]上递增．∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，∴a＝±12(舍去)．(2)当0a21，即0a2时，ymax＝fa2＝－4a，令－4a＝－5，∴a＝54∈(0,2)．(3)当a2≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0,1]上递减，此时f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0，∴a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝54或a＝－5.探究提高(1)要注意二次函数的对称轴所在的位置对函数最值的影响．(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．变式训练2函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值．解(1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2.①当t＋12，即t1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；②当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝3；③当t2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.综上所述，g(t)＝－t2＋2t＋2，t1，3，1≤t≤2，－t2＋4t－1，t2.(2)当t1时，g(t)＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋33；当1≤t≤2时，g(t)＝3；当t2时，g(t)＝－t2＋4t－1＝－(t－2)2＋33.∴g(t)的最大值为3.题型三幂函数的图象和性质例3已知幂函数(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)的a的取值范围．思维启迪由(m∈N*)的图象关于y轴对称知m2－2m－3为偶数，又在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－30，从而确定m值，再由函数f(x)＝x－m3的单调性求a的值．322)(mmxxf3)23(ma3m322)(mmxxf解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴等价于a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a.解得a－1或23a32.故a的取值范围为a|a－1或23a32.13x3131)23()1(aa探究提高本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．变式训练3指出函数f(x)＝x2＋4x＋5x2＋4x＋4的单调区间，并比较f(－π)与f－22的大小．解∵f(x)＝x2＋4x＋5x2＋4x＋4＝1＋1x＋22＝1＋(x＋2)－2，其图象可由幂函数y＝x－2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且其图象关于直线x＝－2对称(如图所示)．又∵－2－(－π)＝π－2－22－(－2)＝2－22，∴f(－π)f－22.答题规范2．分类讨论要规范试题：(12分)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围．学生解答展示解012)4(411022)1(11122)1()(,0afaafaaaxaxfa或时当02816)4(41afa或111144301821111.22(1)2200,(4)16820aaaaaaaaafaaafa当时或或或或即得审题视角(1)分a0，a0，a＝0三种情况讨论，并使每种情况下在[1,4]上最低点函数值或最小值大于或等于零，从而求得a的取值范围．(2)由ax2－2x＋20分离参数a2x－2x2，转化成求2x－2x2的最大值问题．规范解答解当a0时，f(x)＝ax－1a2＋2－1a.[1分]∴1a≤1f1＝a－2＋2≥0或11a4f1a＝2－1a0或1a≥4f4＝16a－8＋2≥0，∴a≥1a≥0或14a1a12或a≤14a≥38[3分]∴a≥1或12a1或∅，即a12，[5分]当a