第六章-惯性力

第6章惯性力6.1非惯性系惯性力6.1.1牛顿定律惯性系与非惯性系牛顿运动定律中描述运动所用的参考系称为惯性参考系，简称惯性系。不能直接运用牛顿运动定律的参考系称为非惯性系。在绝大部分的工程问题中可以选取与地球固连的参考系为惯性系。相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系也都是惯性系。所以，非惯性系就是相对于惯性系作变速运动的参考系。6.1.2质点的非惯性系惯性力由于非惯性系是动系，从运动分析可知，物体在动系中的相对加速度与在定系中的绝对加速度不同。因此，物体在非惯性系的动系中的受力情况也与在惯性系的定系中的受力情况不同。vr0vraCFICwaeFIe对于质量为m的质点，如果它的牵连加速度为ae，则它受到的牵连惯性力是eIeaFm对于质量为m的质点，如果它的科氏加速度为aC，则它受到的科氏惯性力是CICaFm例6-1如图所示，盛有液体的容器以角速度w绕铅垂轴匀速转动，试求容器内距转轴距离为r的液滴的重力与非惯性系惯性力的合力的方向。wrwraeFIeGq例6-2OA长l=0.5m，绕过点O的铅垂轴在水平面内转动；OA上有质量m=0.1kg的套筒B，B沿杆OA以速度v=0.01m/s匀速运动。设开始时OA静止，角加速度a=0.1prad/s2，B在O点。求运动后第10s时，B的非惯性系惯性力。wOBAavwOBAavaenaetaCFIenFIetFIC'x'z'y6.2达朗贝尔惯性力6.2.1质点的惯性力FsWFFIFNa由牛顿第二定律知：由牛顿第三定律知，对外界的反作用力：aFmRaFmR这种形式的惯性力是法国科学家达朗贝尔在18世纪首先使用的。达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力有同有异。相同之处是：它们的大小都等于加速度和质量的乘积，方向都与加速度的方向相反。不同之处是：非惯性系惯性力作用在质点上；达朗贝尔惯性力不作用在质点上，而是质点对外界的作用力。aFmI达朗贝尔惯性力在受力分析时把惯性力和质点实际受到的力同样分析、标注。在受力图上把惯性力的作用点直接取在质点上，方向与加速度相反，为了与其它真实作用在质点上的力有所区别，往往用虚线来画惯性力的力矢。FsWFFIFNaaWFTFI6.2.2刚体惯性力系的简化运用力系简化的方法将刚体上各个质点的惯性力组成的惯性力系向一点简化，得到一个等效力与一个等效力偶。等效力作用在简化中心，大小与方向等于惯性力系的主矢，等效力偶矩等于惯性力系的主矩。因此，对刚体惯性力系的研究关键在于惯性力系的主矢与主矩的分析。1.惯性力系的主矢)()(IIRiiiiimmaaFFCiimmrrCiimmaaCmaFIR设质点系的总质量为m，质心的加速度为aC；其中任一质点的质量为mi，加速度为ai。每个质点的惯性力为FIi=-miai，则惯性力系的主矢为由质心位置计算可得对于质量不变的质点系有惯性力系的主矢2.惯性力系的主矩及简化结果(1)平移刚体COFI1rCFIRaCaia1FIiCaCCCCiiiiiiiOmmmarararFrM)()(II任选一点O为简化中心简化中心取在质心C0ICM平移刚体惯性力系的简化结果：平移刚体的惯性力系可以简化为一个通过质心的惯性力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。FIRCaC(2)定轴转动刚体wzriOmiatiaaniFIinFIitxy)()()(2nτjivωajirαajirωviiiiiiiiiiiiyxxyxywaw])()[(22nIτIIjiFFFiiiiiiiixyyxmawaw质点mi的惯性力为kjiFrMM)()()(2222IIIiiiiiiiiiiiiiiiiiOiOyxmzxmzymzymzxmawawa惯性力系对O点的主矩为iiiyziiixzzymJ,zxmJ)(22iiizyxmJ刚体对于z轴的惯性积刚体对于z轴的转动惯量kjiMawawazxzyzyzxzOJJJJJ)()(22IkjiMzyxOMMMIIIIawawazzxzyzyyzxzxJMJJMJJMI2I2I定轴转动刚体的惯性力系对于转轴上一点O的主矩为或写为其中分别是定轴转动刚体惯性力系对x、y、z轴的矩。如果刚体有质量对称平面，且转轴z与该平面垂直，简化中心O为z轴与该平面的交点,惯性力系对于转轴上一点O的主矩只有z轴上的分量，为azzOJMMIIOyzxwaOxywaCCacFIRMIO质量对称面OxywaCacFIRMIO惯性力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反，力线通过转轴；惯性力偶的矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的方向相反。当定轴转动刚体有质量对称平面且转轴与此对称面垂直时，惯性力系向转轴与对称面的交点简化为此对称面内的一个等效惯性力与一个等效惯性力偶。(3)平面运动刚体wzriCmiaCaxyaiFIiτniCiCCiaaaaτInIτnIiiCiiCiiCiCiiiimmmmmFFaaaaaF质点mi的惯性力为惯性力系对质心C的主矩为)()()()(τInIIIiCiCCiCiCCmFMFMaMFMM0)m(CiCaM但)()(iCniCCtIIIFMFMM所以把平面运动分解为随质心的平移和绕质心轴的转动时，惯性力系的主矩由绕质心轴的转动确定，而与随质心的平移无关。因此参考刚体绕定轴转动的惯性力系主矩的计算方法，得到平面运动刚体惯性力系对质心C的主矩为kjiMzyxCMMMIIIIawawazzxzyzyyzxzxJMJJMJJMI2I2I其中分别是刚体惯性力系对x、y、z轴的矩。工程中的平面运动刚体常常具有质量对称平面，且运动平面与该质量对称平面平行。该刚体的惯性力系对于质心C的主矩只有z轴上的分量，为azzCJMMIIMICwCaCaFIR质量对称面与运动平面当刚体有质量对称平面且平行于此对称面运动时，惯性力系向质心简化为此对称面内的一个等效惯性力与一个等效惯性力偶。MICwCaCaFIR惯性力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反，力线通过质心；惯性力偶的矩的大小等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的方向相反。惯性力分析的一般步骤与要求：1.明确刚体的运动类型，确定刚体惯性力系的主矢与主矩的计算方法。2.根据刚体惯性力系的主矢与主矩的计算需要，假设相应的加速度（速度）。3.进行运动分析，确定所假设的加速度的关系。4.按与加速度相反的方向，在受力图上画出相应的等效惯性力与等效惯性力偶。5.写出等效惯性力与等效惯性力偶用相应加速度计算的表达式。例6-3在水平面上放置一均质三棱柱A，质量为mA，质心在点A；在其斜面上又放着一个均质三棱柱B，质量为mB，质心在点B。两三棱柱的横截面均为直角三角形。试分析三棱柱B在下滑过程中，两个棱柱的惯性力。BABAaAaearFIAFIeBFIrBAaaeABaaaaarer解：参考系固连在地面，为惯性系。（1）分析运动三棱柱A平移，加速度为aA。三棱柱B相对三棱柱A平移，同时随三棱柱A平移。相对加速度为ar，牵连加速度其绝对加速度为AAAamFIBBBamFIABaaarBBABBBBBmmmIeIrrIFFaaaF（2）计算惯性力三棱柱A平移，其惯性力三棱柱B也是平移，其惯性力由于，所以有例6-4A、B两均质轮质量皆为m，对质心的转动惯量皆为mr2，且有R=2r。小定滑轮C及绕于两轮上的细绳的质量忽略不计。当轮沿斜面只滚不滑时，试分析A、B两轮的惯性力。CABRrCABaAaBaBaAEDPaDaEFIAFIBMIAMIBRrQ解：参考系固连在地面，为惯性系。（1）明确刚体的运动类型A、B两轮皆为平面运动，且轮A的速度瞬心在点P，轮B的速度瞬心在点Q。（2）假设相应的加速度设系统运动时轮B向下滑动，轮A向上运动。因此，设轮A的质心加速度为aA，角加速度为aA；轮B的质心加速度为aB，角加速度为aB。AAArRaaa2AAAErraaaa3AEDraaa3BBraaBBBDrRaaaaBAaa31（3）进行运动分析，确定加速度的关系对绳上E点，且对轮B有且绳上D点的加速度所以两个轮子的角加速度的关系为对轮A有（4）画出等效惯性力与等效惯性力偶按照平面运动刚体的惯性力系的简化法则，按相应加速度的反方向画出等效惯性力与等效惯性力偶。（5）写出惯性力的表达式（可用一个独立加速度表示）BAAAmrmrmaFaa322IBAAmrmrMaa22I31BBBmrmaFaIBBmrMa2I例6-5均质杆AB质量为m，杆长为l，两端悬挂在两条平行绳上，杆处于水平位置。设其中一绳突然断了，分析此瞬时杆的惯性力。BDCABOCAaAaOAtaOxFIOyFIOxaMIOaOAnyxaOy解：参考系固连在地面，为惯性系。（1）明确刚体的运动类型绳BD断后，杆只受绳的约束和重力作用，产生平面运动。（2）假设相应的加速度设杆AB的质心为O，加速度方向未知，设为两个正交分量aOx、aOy；设杆AB的角加速度为a。（3）进行运动分析，确定加速度的关系一个条件是在绳BD断的瞬间，杆AB的角速度为零。另一个条件是在绳BD断的瞬间，点A只能具有垂直于绳方向的加速度aA。由平面运动刚体上点的加速度计算，若以点A为基点，有nτOAOAAOyOxaaaaa0nOAaa2τlaOAAOxaaa2laOy其中，上式分别投影互x、y轴，得到（4）画出等效惯性力与等效惯性力偶按照平面运动刚体的惯性力系的简化法则，按相应加速度的反方向画出等效惯性力与等效惯性力偶。（5）写出惯性力的表达式AOxOxmamaFIa2ImlmaFOyOyaa122ImlJMOO例6-6质量为m的滑块A在水平槽中运动；杆AB长为l，质量不计，A端与滑块铰接，B端连结质量m1的小球。试分析系统运动时各物体的惯性力。BABAxyjOaAaBxaByFIBxFIByFIA解：建立固连在地面的坐标系Oxy，此为惯性系。（1）明确刚体的运动类型系统由两个物体组成，滑块A沿x轴平移；小球B相对滑块A转动，同时随滑块A运动。（2）假设相应的加速度，确定加速度关系)0,(Ax)cos,sin(jjllxA设滑块A的坐标为B的坐标为AAxajjjjcossin2llxxaABBxjjjjsincos2llyaBBy求导，得物体的加速度为（3）画出惯性力根据惯性力的方向与相应的加速度方向相反，在图上作出惯性力的受力图。在解析法中，加速度的正向为坐标轴的正向。（4）写出惯性力的表达式根据加速度关系式，写出惯性力的表达式，为AAAxmmaFII1211(sincos)BxBxAFmamxmlljjjjI121(cossin)ByByFmamlljjjj