第11讲离散型随机变量及其概率函数

设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,….为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为101)0(3533CCXP106)1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例1且311iiXP)(一、离散型随机变量概率分布的定义一般地，我们给出如下定义:其中(k=1,2,…)满足：kp,0kpk=1,2,…（1）kkp1（2）定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称k=1,2,……,)(kkpxXP为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.用这两条性质判断一个函数是否是概率函数解:依据概率函数的性质:kkXP1)(P(X=k)≥0,1!0aekakka≥0从中解得欲使上述函数为概率函数应有ea0kkke!这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率函数为：,!)(kakXPkk=0,1,2,…,试确定常数a.0定义2.设随机变量X的概率函数为：(),!kPXkekk=0,1,2,…,则称X服从参数为的泊松分布，记0()XP定义3.若随机变量X的可能取值为且它的概率函数为0,1,2,,,n()(1),0,1,2,,kknknPXkCppkn则称X服从参数为n,p的二项分布，记作(,).XBnp二项分布的泊松近似当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例4中，要计算我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的正态近似.kkkkkCkXPXP500050006500050006)1000999()10001()()5(或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.泊松定理(,),1,2,(nnnXBnpnp设随机变量是与n有关的数).又设是常数，则有0nnplim(1),0,1,2,!kkknknnnnCppekk证明见教材定理的条件意味着当n很大时，pn必定很小.因此，泊松定理表明，当n很大，p很小时有以下近似式：!)1(keppCkknkkn其中npn100,np10时近似效果就很好实际计算中，!)1(keppCkknkkn其中np当n很大时，p不是很小，而是很大(接近于1)时，能否应用二项分布的泊松近似？当p不是很小，而是很大(接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似.两点分布和超几何分布见书二、表示方法（1）列表法：（2）图示法（3）公式法103106101210X~2,1,0,)(35233kCCCkXPkk再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,20.10.30.6kPK012三、举例例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取0、1、2为值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示为：81.018.001.0210~X这就是X的概率分布.例4.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数.解:显然，X可能取的值是1,2,…，P(X=1)=P(A1)=p,为计算P(X=k)，k=1,2,…，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(,2,1kppkXPk1)1()(可见这就是求所需射击发数X的概率函数.P(X=1)=P(A1)=p,Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.不难验证:1)1(11kkpp,2,1kppkXPk1)1()(例5.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.解:依题意,X可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设路口3路口2路口1P(X=1)=P()21AA2121=1/4321AAAP(X=2)=P()212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设321AAA=1/8P(X=3)=P()212121路口3路口2路口1818141213210~X即不难看到301)(iiXPX表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设解：每个分子的运动是相互独立的，在左边还是右边是等可能的,概率都是0.5.例6.N个可以辨认的分子，在一容器内自由运动，如今从中隔开，观察左边分子的个数，试求其概率分布.设左边分子的个数为X，我们来求X取每个值的概率.X可取0,1,…,N为值，设左边分子的个数为X，P(X=k)=kNkkNC)5.0()5.0(NkNC)5.0(k=0,1,…,NX可取0,1,…,N为值，共N个分子某固定k个分子在左端，其余N-k个分子在右端的概率是(0.5)k(0.5)N-k左端有k个分子的所有情况数为从N个不同元素中取k个的组合，即种.kNC于是只要知道了随机变量的概率分布，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率.P(X=k)NkNC)5.0(k=0,1,…,N可以验证：NkNkNC0150).(例7.某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元.设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：15.045.025.015.040302010~X求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.分析：加油站代营每出租一辆车，可得3元.每天出租汽车数为X，因代营业务得到的收入为3X元.每天加油站要多付给职工服务费60元，即当天的额外支出费用.因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X60}即P{X20}15.045.025.015.040302010~X注意到也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.下一讲，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量----连续型随机变量的描述方法.