《综合法和分析法》(上课用)

2.2直接证明与间接证明演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习推理合情推理演绎推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。１.综合法——由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(又称顺推证法)探索求知注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…特点:由因导果(浮想联翩,尝试前进!)练习：求证：5321232log19log19log19证明：因为1loglogabba所以左式=log195+2log193+3log192=log19(5×32×23)=log19360.因为log19360log19361=2，所以5321232log19log19log19bc+caca+abab+bc=++222222abc+abc+abc=a+b+c.法1:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴++=bc+ca+ababc证为数例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证.111∴a+b+c++成立abc111111+++bccaab++222111=++.abc法2:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴a+b+c=++bccaab证为数.111∴a+b+c++成立abc例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证探索求知例：求证不等式：.10578.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证,10578.)105()78(22即证.50210556278.5056,502562即故不等式成立.只需证只需证2.分析法探索求知从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）——执果索因注：用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…特点:执果索因(执果索因,妙在转化!)问题:在《数学5(必修)》中，我们如何证明基本不等式(0,0)?2≤ababab指出其中的证明方法的特点.证法1:对于正数a,b,有202022≥≥≥≥ababababababab（）证法2:要证只要证只要证只要证2≤abab2≤abab02≤aabb20()≤ab因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式3725练习：求证3725解:要证()()223725只需证展开,只需证215只需证2125因为2125成立,所以成立.3725例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言：A+C=2B⑴，b2=ac⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①CBAABCCBA的内角，所以为，，因为由①②，得②3B③由于，a，b，c成等比数列，有acb2④由余弦定理及③，可得accaBaccab22222cos2再由④，得0222）即（caacacca因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得3CBA.为等边三角形所以ABC22222π例.已知α,β≠kπ+(kZ),且2sinθ+cosθ=2sinαsinθcosθ=sinβ1-tanα1-tanβ求=.1+tanα2(1+tanβ)证:例：1PP21PP'PPnmQQ'12QQQQ1上述过程可用框图表示:直接证明(回顾小结)分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念思考小结:1.综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!)其模式为:由因导果(已知)1nABBB(结论)2.分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!)其模式为:不断转化(结论)B1nBBA(已知)注:分析法被认为是解数学题的“绝招”,因为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出分析的成果作为证明.直接证明（综合法和分析法）都是直接证明证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述；相同不同证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路【巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244（：求证已知、、求证：