复数的三角形式-乘法及其几何意义练习版

复数的三角形式乘法及其几何意义1、复数的三角形式及运算(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．(3)复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则2、复数的几何意义(1)复数模的几何意义：，即Z点到原点O的距离，一般地|Z1－Z2|即Z1点到Z2点的距离．(2)复数加、减法的几何意义图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．即Z=Z1＋Z2，．(3)复数乘、除法的几何意义：设Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，则ZZ1的几何意义是把Z的对应向量按逆时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的r1倍，所得向量即表示积ZZ1，如图，Z1≠0,的几何意义是把Z的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商.概念：1、复数的三角形式：设|z|=r（r≥0），辐角主值：argz=，那么复数z=2、复数三角形式的几点要求：⑴⑵⑶3、回顾练习：⑴下列那一个是复数的三角形式：(A)21(cos3-isin3)(B)-21(cos4+isin4)(C)21(sin54+icos54)(D)cos56+isin56⑵把下列复数化为三角形式：-3=；i2123;一、复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设z1=r1(cos+isin)，z2=r2(cos+isin)，r1≥0,r2≥0那么：z1·z2=此定理用语言叙述为：【例题1】1、求下列复数的积：①2(cos12+isin12)3(cos6+isin6)②3(cos75º+isin75º)3(cos15º+isin15º)③(cos3A+isin3A)(cos2A-isin2A)定理的推广：设zn=rn(cosn+isinn),其中rn≥0于是：z1z2z3…zn=r1r2r3…rn[cos(1+2+3+…+n)+isin(1+2+3+…+n)]（当1=2=3=…=n时z1n=cosna+isinna）1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式)⑴8(cos6+isin6)2(cos12+isin12)=⑵8(cos240º+isin240º)2(cos150º-isin150º)=⑶3(cos18º+isin18º)2(cos54º+isin54º)5(cos108º+isin108º)=⑷|3(cos12-isin12)(1+i)2(sin22º+icos22º)|=二、复数乘法的几何意义：⑴两个复数z1、z2相乘时，可以先画出分别与z1、z2对应的向量1OZ、2OZ，然后把向量2OZ按逆时针方向旋转1（10如何？）再把模变为原来的r1倍，所得的向量OZ就表示积z1z2.r2xyOZ2r1r1r2Z1zM*特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.【例题2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化：⑴8(cos6+isin6)2(cos12+isin12)：⑵8(cos240º+isin240º)2(cos210º-isin210º)：⑶3(cos18º+isin18º)2(cos54º+isin54º)(cos108º+isin108º)：【例题3】1、OZ对应复数-1+i,将OZ按逆时针方向旋转120º后得到ZO，求ZO对应复数z2、（2000全国）把复数3-3i对应向量按顺时针方向旋转31，所得向量对应复数为()(A)23(B)-23i(C)3-3i(D)3+3i3、ZA=1,ZB=3+2i,并且ABCD是按逆时针方向排列的正方形的四个顶点，求ZC与ZD.第反馈2题【反馈练习2】如果向量OZ对应复数4i，OZ逆时针旋转45º后再把模变为原来的2倍得到向量1OZ，那么与1OZ对应的复数是2、正⊿ABC的顶点A、B、C对应复数ZA、ZB、ZC，点A、B、C按逆时针顺序排列，那么（）(A)ZC=(ZB-ZA)(cos60º+isin60º)(B)ZC=(ZB-ZA)(cos60º-isin60º)(C)ZC=ZB(cos60º+isin60º)(D)ZC=ZA+(ZB-ZA)(cos60º+isin60º)三、知识小结：(1)、积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和(2)、复数的乘法向量的旋转与伸缩(3)、做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.四、练习1、已知0＜α＜π，且，复数Z=tanα－i．(1)求Z的三角形式；(2)若|Z|＜2，求argZ的取值范围．OxyZZ120ºOxyZZx·ZOyZ1OABCDxy2.已知复数zi1，求复数zzz2361的模和辐角主值。3.求复数1327（）的模及辐角主值。i4.已知复数zzzzzzizz12121212117515,，满足，且，求的值。5.求使532320inn的最小自然数。6.设zziziz（12123)(),（1）求z的最大值和最小值。（2）求复数z的实部和虚部之和的最大值和最小值。7.已知231zi，（1）求|z|的最值；（2）求argz的取值范围。