12-网络图论与状态方程

112网络图论与状态方程王超湖北工业大学华中科技大学出版社2本章知识要点：※连通图与割集※关联矩阵A与基尔霍夫定律※回路矩阵B与基尔霍夫定律※割集矩阵Q与基尔霍夫定律※节点电压方程的矩阵形式※回路电流方程的矩阵形式※割集电压方程的矩阵形式※状态方程湖北工业大学华中科技大学出版社312.1.1图、边和顶点1.边如图12-1所示的几何图形中，每一直线段或曲线段都叫作边，在电路中则称为支路。12.1连通图与割集图12-1电路的图2.顶点线段的端点称为顶点，在电路中称为节点3.图图便是边和顶点的集合。湖北工业大学华中科技大学出版社412.1.2子图设有图G，另有图Gi，且Gi是由G的一些节点或节点与支路组成的，则称Gi为G的子图。图12-2电路图12-1的子图湖北工业大学华中科技大学出版社512.1.3连通图如果一个图的任意两个节点之间都存在由一条或若干条支路构成的路径，则称此图为连通图。仅含有一个节点的图也称为连通图。在每条支路上均标注了支路电流参考方向的图，称为有向图。12.1.4有向图湖北工业大学华中科技大学出版社612.1.5树1.树包含全部节点，但不包含回路的连通子图，称为树。2.树支构成树的支路，称为树支。3.连支属于连通图但不属于树的支路，称为连支。湖北工业大学华中科技大学出版社71.割集的概念割集是连通图一部分特殊支路的集合，它们满足如下两个条件：（1）如果把这些支路全部移去，剩下的图将成为几个分离的部分；（2）如果留下其中任意一条支路，剩下的图仍然是连同的。12.1.6割集及其方向2.基本割集在一个连通图上选定一颗树后，n-1个单树支割集称为基本割集。3.割集的方向对单树支割集而言，其方向与它所含树支电流的方向一致。湖北工业大学华中科技大学出版社81.有向图的矩阵表示用一种特有的矩阵来表示电路的有向图的特征，以便对电路的联结特点有进一步的了解，称为有向图的矩阵表示。12.2关联矩阵A与基尔霍夫定律表征支路与节点之间关系的矩阵，称为关联矩阵A表征支路与回路之间关系的矩阵，称为回路矩阵B表征支路与割集之间关系的矩阵，称为割集矩阵Q湖北工业大学华中科技大学出版社91.定义对于一个有n个节点，b条支路的有向图，定义一个n行b列的nxb阶矩阵Aa，称为关联矩阵，来表征支路和节点的联结关系。矩阵Aa中的元素ajk（j指节点号，k指支路号）按下述要求规定：12.2.1关联矩阵A的定义（1）ajk=+1，表示支路k与节点j关联，且支路k的电流参考方向是从节点j流出；（2）ajk=-1，表示支路k与节点j关联，且支路k的电流参考方向是从节点j流入；（3）ajk=0，表示支路k与节点j无关联。湖北工业大学华中科技大学出版社10图12-3有向图节点k支路s1234561234湖北工业大学华中科技大学出版社1112.2.2关联矩阵A表示的基尔霍夫定律对图12-2-1设bbbbbIIII21,，即为支路电流列向量。可得基尔霍夫电流定律的矩阵表达式：0baIA湖北工业大学华中科技大学出版社12将表达式展开：0002121InIIIIIAbbbba上的节点上的节点上的节点显然，此式代表n个节点的kcl方程式组成的线性齐次方程组湖北工业大学华中科技大学出版社13若把aA中任一行划去，剩下（n-1）×b矩阵，则称为降阶关联矩阵[A]。例如，划去上式中第四行，即表示以节点4为参考节点，则：011001101100000111A上式即为支路和节点的降阶关联矩阵湖北工业大学华中科技大学出版社1412.3回路矩阵B与基尔霍夫定律12.3.1回路矩阵B的定义回路矩阵B就是回路与支路相关连的矩阵。它的每行对应一个回路，每列对应一个支路。其元素定义如下：1jkb表示支路k与回路j相关连，并表示它们的方向一致；1jkb表示支路k与回路j相关连，并表示它们的方向相反；0jkb表示支路k与回路j无关连。湖北工业大学华中科技大学出版社15以图12－3为例：可得b=6,n=4,独立回路数为3则回路矩阵为：图12-3有向图湖北工业大学华中科技大学出版社16回路矩阵B与支路电压bV列向量的乘积是一个L阶列向量。故有：0bBV这就是矩阵形式的基尔霍夫电压定律12.3.2回路矩阵B表示的基尔霍夫定律湖北工业大学华中科技大学出版社17llLLLIIII21,LI表示一个L阶回路电流列向量：支路电流列向量：bbbbbIIII21,回路矩阵B表示的基尔霍夫电流定律为：LfbIBI'湖北工业大学华中科技大学出版社1812.4割集矩阵Q与基尔霍夫定律12.4.1割集矩阵Q的定义割集与支路关联的情况用矩阵描述，称为割集矩阵Q，它的每一行对应一个割集，每一列对应一个支路。由于割集就是树支数，所以割集矩阵是(n-1)×b阶矩阵。Q的元素jkq定义如下：1jkq表示支路k与割集j关联，且它们的方向一致；1jkq表示支路k与割集j关联，且它们的方向相反；0jkq表示支路k与割集j无关联。湖北工业大学华中科技大学出版社19对图12-3，可得割集矩阵为：割集c支路s：123456101011011001000111Q123湖北工业大学华中科技大学出版社2012.4.2割集矩阵Q表示的基尔霍夫定律设]',,,,,[654321iiiiiiIb则有0bQI这就是割集矩阵Q表示的基尔霍夫电流定律湖北工业大学华中科技大学出版社2112.5节点电压方程的矩阵形式12.5.1矩阵形式节点方程的推导12-4节点电压方程的阻抗形式的标准支路模型湖北工业大学华中科技大学出版社2212-5节点电压方程的导纳形式的标准支路模型湖北工业大学华中科技大学出版社23k支路电压、电流关系：SkkSkkkUIIZU)(SkkSkkkIUUYI)(设T21bIIIIT21bUUUUT21SbSSSUUUUT21SbSSSIIIIZ=diag[Z1Z2Zb]Y=diag[Y1Y2Yb]Z=Y-1湖北工业大学华中科技大学出版社24即支路电压的矩阵方程为：SSIUYUYISkkSkkkIUUYI)(由k支路电压、电流关系：SbSkSSbbSkkSbkbkIIIUUUUUUYYYIII1111100000000000000000000可得：湖北工业大学华中科技大学出版社25由矩阵形式的KCL：0IA故：0AAAASSIUYUYI由矩阵形式的KVL：nUA'U0IAUYAUA'YASSn即为节点导纳矩阵AYA'YnSSnnUYA-IAUY得节点电压方程nUUnUTAISSIUYUYI由下面步骤可求得支路电压和电流湖北工业大学华中科技大学出版社26一般的，写矩阵形式的节点电压方程，可归结为以下步骤：1）作有向图，对支路和节点编号，选参考节点；2）写关联矩阵A；3）写支路导纳矩阵Yb；（注意有耦合和受控源的情况）4）写节点电压方程。SSnnUYA-IAUYnYAYA'湖北工业大学华中科技大学出版社27例12.1电路如图所示，试写出其矩阵形式的回路电流方程。12-10例12.1的电路图及有向图湖北工业大学华中科技大学出版社28解：选节点4为参考节点，则关联矩阵为：101100110001010110A电压源列向量为：0SU电压源列向量为：340000TSSSIII支路导纳矩阵为：61234511111TbYdiagjCjLjLRRR湖北工业大学华中科技大学出版社29节点电压方程为：TbnSAYAUAI即：1411413462112234424521111111011111nSSnnSRRjLjLRUIIjCUjLjLjLjLUIRjLRRjL湖北工业大学华中科技大学出版社3012.6回路电流方程的矩阵形式12.6.1矩阵形式回路方程的推导12-11回路电流方程的标准支路模型湖北工业大学华中科技大学出版社31回路电流为12[,,,]'LLLLbIIII支路电流源电流为12[,,,]'SSSSbIIII支路电压源电压为12[,,,]'SSSSbUUUU设支路电流为]',,,[21bIIII湖北工业大学华中科技大学出版社32对第k条支路，由KVL有：()kkkskskUZIIU整个电路的约束方程用矩阵形式表示为：()ssUZIIU其中，Z为支路阻抗矩阵12[,,,]bZdiagZZZ根据支路的约束方程，可以推导回路电流方程的矩阵形式：由KVL有：0BU故有：[()]0ssBZIIU又有：'LIBI湖北工业大学华中科技大学出版社33矩阵形式的回路方程为：'LssBZBIBUBZI例12.2电路如图所示，试写出其矩阵形式的回路电流方程。12-12例12.2的电路图及其有向图湖北工业大学华中科技大学出版社34解：作出有向图，并选支路1、2、5为树支，有：1010101011B123451[,,,,]bZdiagRRjLjLjC2[0000]TSSUU1[0000]TSSII湖北工业大学华中科技大学出版社35把前面各式代入'LssBZBIBUBZI可得回路电流方程的矩阵形式：13551112224551111SLSLRjLjCjCRIIUIRjLjCjC湖北工业大学华中科技大学出版社3612.7割集电压方程的矩阵形式12.7.1矩阵形式割集电压方程的推导12-13割集电压方程的标准支路模型湖北工业大学华中科技大学出版社37由：0QI得：[()]0bssQYUUI即：0bbssQYUQYUQI又由：'tUQU是割集电压，也就是树支电压tU割集电压方程的矩阵形式为：'btsbsQYQUQIQYU()bssIYUUI对整个电路可以列写矩阵形式的支路约束方程：湖北工业大学华中科技大学出版社38例12.3电路如图所示，设电路的初始状态为零。试写出其矩阵形式的割集电压方程（用运算形式）。12-14例12.3的电路图及其有向图解：对图12-7所示的电路及其有向图，选择支路1、2、3为树支，则三个单树支割集为：湖北工业大学华中科技大学出版社3912-15树Q1={1，4，5}，Q2={2，4}，Q3={3，4，5}割集矩阵为：100110101000111Q2[0,,0,0,0]TSSUU1[,0,0,0,0]TSSII512341111[,,,,]bYdiagSCRRSLSL湖北工业大学华中科技大学出版社40割集电压方程为：5514441122424435544341111011110001111tStStSCSCRSLSLSLUIUUSLRSLSLUSCSCSLLSLSL湖北工业大学华中科技大学出版社4112.8状态方程12.8.1基本概念1.状态变量选定系统中一组最少数量的变量X=[x1,x2,…xn]T，如果当t=t0时这组变量X(t0)和tt0后的输入e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。