数学思维方法

数学思维方法第一节数学思维和思维过程一、数学思维及其类型1.思维概述思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。思维是人类所特有的一种高级的心理活动。2.思维的特征数学思维的特征主要是概括性、间接性、目的性、问题性和复合性。（1）概括性。思维能认识事物的本质及其内在规律性，主要来自抽象和概括，即思维是概括的反映，所以思维最显著的特点是概括性。概括是思维活动的速度、灵活迁移程度、广度和深度等智力品质的基础。（2）间接性。思维是凭借知识经验对客观事物进行的间接的反映。间接性表现在能对没有直接作用于感知的事物的属性或联系加以反映，能对根本不能直接感知的事物及其属性或联系进行反映；能在对现实事物认识的基础上假设、想象等。（3）目的性。思维具有目的性，是指思维具有解决问题或获得结果的能动性。人只有在客观实践活动中面临新的问题，新的活动要求和新的情况下，才可能进行思维。思维的特性还包括广阔性、层次性、逻辑性、产生性等。3.思维的分类根据思维活动的目的性差异，思维有不同形式的分类。（1）根据思维的抽象程度。思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象逻辑思维。（2）根据思维的目的性。思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。上升性思维是依靠比较、分析、抽象等方法，从对事物的个性向共性的认识过程；求解性思维指解决具体问题的思维；决策性思维是以规范未来的实验过程和预测其效果为中心内容的思维活动。三种思维相互联系、彼此渗透，同时又是一个不断深化和发展的过程。（3）根据思维的智力品质。思维可分为再现性思维和创造性思维。再现性思维是一般的思维活动，它是指对已有知识的再现，或将已有知识按照通常的思维形式去解决问题的过程；创造性思维指独立思考出有社会价值的、具有一定新颖成分的思维，它是人类思维的高级阶段。（4）根据思维的形式。思维可分为辐合思维和发散思维。4.数学思维数学思维既具有一般思维的共性，又具有自身的特性。数学思维是以认识数学对象为任务，以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。数学思维主要具有概括性、整体性和问题性等特点。（1）概括性。数学思维的概括性是指将某种事物已分出来的一般、共同的属性或特征结合起来，再把研究对象的本质特征推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特征。数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学属性。（2）整体性。数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。（3）相似性。数学思维的相似性是思维相似规律在数学思维活动中的反映。（4）问题性。数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。因此，问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。（5）复合性。数学思维的复合性是指数学思维活动中表现出的逻辑性和非逻辑性相结合的特征。二、数学思维的类型确定数学思维类型应该考虑的问题：首先，数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出数学思维特有的规律。其次，数学思维应是指数学活动过程中的思维，这种活动包括研究数学和学习数学的活动。由上面分析可知，数学思维的成分主要包括形象思维、抽象逻辑思维和直觉思维。1.形象思维数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学对象的本质和规律的一种思维。在数学形象思维中，表象与想象是两种主要形式，其中数学表象又是数学形象思维的基本元素。（1）数学表象。数学表象是以往感知过的观念形象的重现。数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式——结构来表现。如，数学中“球”的形象，已是脱离了具体的足球、篮球、排球、乒乓球等形象，而且与定点距离相等的空间内点的集合，显示了集合内的点（球面上的点）与定点（球心）之间的本质联系：距离相等。（2）数学想象。数学想象是数学形象思维的一种重要形式，通常可分为再造性想象和创造性想象两种类型。再造性想象是根据数学语言、符号、数学表达式或图形、图表、图解等提示，经过加工改造而形成新的数学形象的思维过程。创造性想象是一种不依靠现成的数学语言和数学符号的描述，也不依据现成的数学表达式和数学图形的提示，只依据思维的目的和任务在头脑中独立地创造出新的形象的思维过程。2.逻辑思维逻辑思维包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维。形式逻辑思维是依据形式逻辑的规则来反映数学对象、结构及其关系，达到对其本质特性和内在联系的认识过程。辩证逻辑思维是逻辑思维发展的高级阶段，它是从运动过程及矛盾相互转化中去认识客体，遵循质量互变、对立统一及否定之否定等规律去认识事物本质的过程。3.直觉思维数学直觉思维是以一定的知识经验为基础，通过对数学对象作总体观察，在瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速做出估计判断的一种思维。数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识活动参与，不受固定逻辑规则约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。因此，非逻辑性是数学直觉思维的基本特征，同时数学直觉思维还具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征。（1）直接性。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接感悟或洞察，是数学直觉思维的本质特征。（2）整体性。整体性是指数学直觉思维的结果是关于对象的整体性认识，尽管这并非是一副毫无遗漏的“图画”，它的某些细节甚至可能是模糊的，但是却清楚地表明了事物的本质或问题的关键。（3）或然性。数学直觉思维是一种跳跃式的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出的结论，具有猜测性。正因为如此，如何通过直觉思维“俘获来的战利品”就需要经过严格的逻辑验证。采用直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系，提出猜想，而不在于论证这个猜想。（4）不可解释性。数学直觉思维在客观上往往给人以不可解释之感。由于直觉思维是在一刹那间完成的，略去了许多中间环节，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要想对它的过程进行分析、研究和追忆，往往是十分困难的，这又使直觉思维给人一种“神秘感”。数学直觉和数学灵感是数学直觉思维的两种形式，它们之间具有深刻的本质联系，即灵感是直觉的更高发展，是一种突发性的直觉。通常灵感的形成是从多次的直觉受阻或产生错误的情况下得到教益，而使一部分信息不自觉地转入潜意识加工，最终又在某种意境或偶发信息的启发下，由潜意识跃入显意识而爆发顿悟的，因此数学思维灵感是从多个数学直觉中升华而形成的结晶。形象思维、逻辑思维、直觉思维是数学思维的三种基本类型，形象思维是数学思维的先导，逻辑思维是数学思维的核心。在进行具体的数学思维活动时，往往是这两种思维交错应用的一个综合过程。直觉思维则是以上两种思维的结合，达到一定数量后所引起的一种质的飞跃。因此，如果形象思维和逻辑思维发展得好，就为发展直觉思维创造了条件。第二节数学思维的一般方法数学思维的一般方法指数学思维过程中常运用的基本方法。从数学活动过程来看，数学思维方法大体上可分为两个层次：经验性思维方法，包括观察、实验、类比、不完全归纳和抽象等，这一层次的思维方法在数学的发现过程中表现得尤为突出；逻辑思维方法，常用在数学的推理和论证中，包括化归、演绎、分析、综合、形式化和公理化等。因此，从整个教学活动的过程来看，可分为数学发现的思维方法和数学论证的思维方法。一、观察和实验观察和实验是发现与解决问题中最形象、最具体的手段之一。在一般的科学活动中，观察与实验是极为重要的科学方法。观察与实验是收集科学事实，获取科学研究第一手材料的重要途径，是形成、论证及检验科学理论的最基本的实践活动。观察法是指人们对周围世界客观事物和形象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获得经验材料的一种方法。通过在数学教学中培养学生的观察和实验能力，可以使学生掌握和运用观察和实验的能力，利用学生的个体经验，运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心。在数学研究中，通过观察与实验不仅可以收集新材料、获得新知识，而且常常导致数学的发现与理论的创新。观察与实验方法在数学中的运用可以大体分为两个层次：一是运用观察和实验来解决和验证数学理论；二是运用观察和实验方法来解决具体的数学问题。在中学数学教学中，就是要运用观察和实验方法来解决一些具体的数学习题。在中学数学教学中，数学观察与实验主要被用来观察实际生活中存在的数量问题、空间结构问题。比如作简单的几何图形，观察几何图形的相互位置，从这些观察中自己动手去做、去实践，并得出一些数学结论。在数学教学中，为了更好地使学生掌握知识、培养他们的创新意识和能力，要尽可能地再现数学知识和结论的发现过程。因此，观察与实验应成为数学教学中探索、学习知识的重要方法和开展实践活动的主要形式。二、类比和猜想类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征；复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测。类比是发现问题和解决问题的一种常用思维形式。在中学数学中，常用的类比包括平面与空间的类比、数与形的类比、有限与无限的类比等。两个数学对象结构相似，是类比的出发点和关键。猜想往往伴随着类比、归纳的思维过程，由于类比和不完全归纳所得的结论不一定正确，所以猜想的数学命题或结论应当采用严格的方法去证明它，或者用实例反驳它。三、归纳与演绎归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情况的分析得出一般性结论的思维方式。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。演绎是由一般性前提推出特殊性结论的思维方法。通常，在依据已知的事实或真命题去进行推理的方式都是演绎推理。演绎推理是数学证明中最常用的严格推理形式，它对于训练学生的技能技巧，发展学生的逻辑思维能力均有重要的作用。在解决数学问题时，归纳与演绎两种思维方法往往交替出现，由归纳法去猜测问题的结论或猜测解决问题的方法，再用演绎去完成严格的推理证明。四、分析与综合分析法是指要证明一个命题是正确的，思考问题时可以由结论向已知条件逐步追溯。即先假设命题的结论成立，推出它成立的原因，再把这些原因看出新的结论，再推求使它们成立的原因，如此逐步往上追溯，直到推出已知条件或已知的事实为止。简述之，就是执果索因。像这样的思维方法叫做“分析法”。如果在追溯过程中，每一步都是可逆的，那么这样的分析法我们称之为“逆证法”。分析法的思考顺序与综合法相反，分析法语综合法比较，其优点是执果索因，思维目标较为清晰，思路也较为集中，易有成效，比较容易找到解决问题的途径；缺点是，分析者知道怎么回事情，但很难完整表述出来。在证题时，从已知条件出发，经过一系列已确定的命题逐步推理，结果或是导出前所未知的命题，或是解决了当前的问题，像这样的思维方法就叫做综合法。综合法的要点就是由已知条件推导出所要证明的结论。综合法与分析法的关系极为密切，可以说分析法是综合法的前提。一般我们在分析题目时用的是分析法，分析法在书写格式方面不够清晰，那么在书写过程中就采用综合法的模式更符号我们的思维习惯。分析是在认识上把事物的整体分解成各个部分、个别特性或个别方面。综合是在认识上把事物的各个部分或不同特性、不同方面结合起来。思维过程是从对问题的分析开始的。思维的分析可以有过滤式的分析和综合的有方向的分析两种形式。前者通过尝试对问题情境作初步的分析，能淘汰那么无效的尝试。后者是通过把问题的条件和要求综合起来而实现的分析，这种分析带有指向性，是思维分析的主要形式，是思维活动的主要环节。分析和综合是方向相反而又紧密联系的两个过程，是同一思维过程中不可分割的两个方面。分析总是把部分从整体中分出来，从它们的相互联系上来考察，而综合则是对分析