随机变量及其分布复习课.

第二章随机变量及其分布复习课知识要点1随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示。在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化。像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。常用希腊字母ξ、η等表示（1）如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.（2）如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.ξ取每一个值的概率123,,,,ixxxxξx1x2…xi…pp1P2…pi…称为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列.则称表(1,2,)ixi()iiPxpx设离散型随机变量ξ可能取的值为2.概率分布定义（分布列）注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)0,123ipi，，，≥123(2)1ppp2.概率分布还经常用图象来表示.我们称这样的随机变量X服从二项分布,记作,在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生k次的概率为显然X是一个随机变量.随机变量X的概率分布如下：X01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq（1）二项分布3.常见分布列knkknppCkXp)1()(),(~pnBX（2）两点分布列:如果随机变量x的分布列为：这样的分布列称为两点分布列,称随机变量x服从两点分布,而称(1)pPx为成功概率.01P1-pp两点分布是特殊的二项分布(1)pxx(3)超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*X01…mP…nNnMNMCCC00称分布列nNnMNMCCC11nNmnMNmMCCC为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布。(),0,1,2,3,,knkMNMnNCCPXkkmC1条件概率定义：一般地,设A,B为两个事件,且()0PA,称()(|)()PABPBAPA为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.注意:⑴0(|)PBA≤≤1;(2)可加性：如果BC和互斥，那么()|(|)(|)PBCAPBAPCA2.相互独立事件的定义:显然:①；与BA②AB与；③.BA与若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:设A,B两个事件,(即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响),则称事件A与事件B相互独立.)()()(BPAPABP若注意区别:互斥事件相互独立事件定义概率公式(1)列表比较不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响P(A+B)=P(A)+P(B)()()()PABPAPB(2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.练习3设甲、乙、丙三人每次设计命中目标的概率分别为0.7、0.6、0.5。（1）三人各向目标射击一次，求至少有一个人命中目标的概率；（2）若三人各向目标射击一次，求他们恰好有二人命中目标的概率。3.n次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”显然，12()nPAAA=12()()()nPAPAPA（1）数学期望（均值）一般地，随机变量的概率分布列为x1122iinnExpxpxpxpxP1x2xnx1p2pnpxixip4.随机变量的数字特征（2）方差与标准差22211()()()iinnDxEpxEpxEpxxxx21()niiixEpxDxx结论1：则;,abx若EaEbx（3）重要结论：xDaD2结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np)1(pnpDx服从两点分布，则特别地，若x)1(,ppDPExx5.正态分布（1）正态分布密度曲线22()21(),(,)2xxex(0)分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布.正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作2(,)N.如果随机变量x服从正态分布,则记为2(,)Nx（2）正态曲线有以下特点：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，关于直线对称，x21③曲线在处到达峰值x④曲线与x轴之间的面积1当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移⑤⑥当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2()0.6826PX由9544.0)22(XP9974.0)33(XP原则3)3(典例分析例1判断下列随机变量是否是离散型？（1）某路口一天经过的车辆数X（2）某森林中树木的高度在(0,33]米这一范围变化，测得树木的高度X（3）一质点沿着数轴进行随机运动，它在数轴上的位置坐标X（4）某人一生中每时每刻的身高X（5）某人射击一次中靶的环数X例2设X是一个离散型随机变量，且服从两点分布求a的值练习：1设某项试验的成功概率试失败概率的2倍，用X描述一次试验成功的次数，则p(X=0)=()X01Pa^22a例3已知X的分布列为（1）求a的值（2）若Y=|X|，求Y的分布列X-2-101234p1/71/143/141/73/141/7a例4一口袋中有5只大小相同的小球，编号为1，2，3，4，5。今从该口袋中随机取出3只，被取出的求的最大号码为X，写出X的所有可能取值，并求X的分布列练习某运动员射击一次所得环数X的分布列如下现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为X，（1）求该运动员两次都命中7环的概率（2）求X的分布列X0-678910p00.20.30.30.2例5我校高二年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4名参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列。练习：1老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格。某同学只能背诵其中的6篇。试求：（1）抽到该同学能背诵的课文数量为X，求X的分布列（2）该同学能及格的概率例6一批零件共有100个，次品10个。每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第二次才取到正品的概率。练习：袋中有6黄、4白共10个乒乓球，不放回抽样，每次任取一球，取两次。求：（1）第二次才取到黄球的概率（2）发现其中之一是黄色的，另一球也是黄色的概率。例7在2004年雅典奥运会上，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行比赛。根据遗忘战况，中国女排在每一局中胜的概率都是3/5，已知比赛中，俄罗斯已经先赢了第一局。求：（1）中国女排在这种情况下取胜的概率。（2）设比赛局数为X，求P(X=4)变式：将题目中“俄罗斯已经先赢了第一局”条件去掉，求中国女排获胜的概率。练习：抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数作为P的横坐标，另一枚的点数作为P的纵坐标，求连续抛掷三次，点P落在圆内部的次数X的分布列。1622yx的值。）取得最大值时＝（），求使，（～若例KKPBxx31208例9袋中装有小大相等的3个白球，2个红球和n个黑球，现从中任取2球，，每取得白球得1分，取得红球得2分，取得黑球得0分，用X表示所得分数。已知得0分的概率式1/6，求：（1）袋中的黑球个数N。（2）X的概率分布列，以及EX。例10设随机变量X分布列为P（X＝k）=1/6(k=1,2,3,4,5,6)求EX,E(2X+3),DX,D(2X+3)练习1X的分布列为P(X=K)=1/3,K=1,2,3,则D（3X+5）=()A6B9C3D4练习2设X的可能取值为1，2，3，4，P（X=K）=ak+b,又X的数学期望是3，则a+b=()练习3两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱信件数X的数学期望EX＝（）＝（）的期望值其中次品数只，任取某进口表的次品率的值为（）＋＝则的方差，，来估计），用，（～若例xxxxEpNN1000,15.0)2(23)916(91916)1(1112(1)01(33)(2)1104001505490130XNpxXN例若～（，），则设在一次考试中某班学生的分数～（，）的正态分布，且知满分为分。这个班的同学共人。试估计这个班在这次考试中及格（不小于分）的人数和分以上的人数。