化工传递-2动量传递的变化方程

Ch2：动量传递概论与微分方程本章先讨论动量传递的基本概念，动量传递的两种方式：扩散传递和对流动量传递，对流传递系数的定义式和求解的一般途径。然后推导动量传递的微分方程－－变化方程。课后学习与作业：第二章的概念和例题；第二章作业：2-1，2-9，2-11，2-13，2-161动量传递概述P301.1动量传递的基本方式1.2流体与壁面之间的动量传递扩散传递分子传递对流传递动量传递涡流传递—因流场中存在速度梯度，分子随机运动引起的动量传递过程。—由于流体质点的宏观流动引起，是动量的主体流动过程。—湍流中质点的随机脉动引起的动量传递。1.1动量传递的基本方式A.分子动量传递分子动量传递的通量由牛顿黏性定律描述：xdudy对流动量传递是由于流体的宏观流动引起的。在流场中取一微元面积dA,流体在该微元上的流速为ux,且ux与微元面垂直，设流体的密度为，则以对流方式通过dA的动量通量为：xxuudAuxB.对流动量传递对流动量传递可以发生在流动流体的内部，也可以发生在运动流体与固体壁面之间。流体与壁面间的对流动量传递的一般定义为ux、us－分别为流体内部与壁面处的流速，m/s；τs－剪应力，流体与壁面间的对流动量通量，Pa；CD－壁面与流体在界面处的对流动量传递系数，或阻力系数。u（2-6）1.2流体通过相界面的动量传递P32)ρ-ρ(2=τ00sDsuuuC对于封闭管道内的流动：2b2()2sbbsfufuuuub—管内流体的平均流速，m/s；f—范宁摩擦因子，管壁与流体在界面处的动量通量。ux动量传递的根本目的是求解以上两个动量传递系数—CD或f。CD或f的求解途径：在流体与壁面的界面处，动量传递的通量为分子传递，即s0xydudy2b2()2sbbsfufuuu（2）)ρ-ρ(2=τ00sDsuuuC式（1）与（2）联立，得22Ds0()2x0yduCuudy22Ds0s()2Cuu2002xDyduCμρudyCD0xydudy速度分布动量传递变化方程s0xydudy（2-8）2.1连续性方程的推导2.2连续性方程的简化2.3柱坐标与球坐标系方程2动量传递的连续性方程P35于单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进行微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。质量守恒定律流出质量速率+流入质量速率－积累质量速率＝0采用欧拉观点在流场中选一微分控制体。2.1连续性方程的推导P35连续性方程的推导微分控制体：dV=dxdydz该点流速u在x,y,z方向分量：ux，uy，uz流体密度为ρ=ρ(x,y,z,θ)对控制体作质量衡算。在x方向:()()[]xxxxuuudxdydzudydzdxdydzxxy，z方向流出与流入微元控制体的质量流量之差()()[]yyyyuuudydxdzudxdzdxdydzyyxu()xudxx()()[]zzzzuuudzdxdyudxdydxdydzzz控制体内的累积速率为dxdydz各式联立，可得()()()0yxzuuuxyz写成向量形式()0u流体流动的连续性方程2-14bxyzijk+xyzuuuijkyxzuuuxyzudivu由于流体密度是空间坐标及时间的函数(,,,)xyz其全微分为dddxdydzxyz()0yxzxyzuuuuuuxyzxyz各项展开xyzDuuuDxyz全导数的形式ddxdydzdxdydzd随体导数xyzDuuuDxyz随体导数是一个特定的全导数。随体导数的物理意义是流场中的物理量随时间和空间的变化率。局部导数对流导数0DρρDθu1DDθuvv体积膨胀速率或形变速率流体微元在空间方向上的线性形变速率之和故连续性方程可写成1v110DDρDθDθvv对时间求随体导数：1.稳态流动2.不可压缩流体()()()0yxzρuρuρuxyz0yxzuuuxyz0u2.2连续性方程的简化0zuyuxuzyx0ρ是常数重要！(2-19)1.柱坐标系'11()()()0rθzρρruρuρuθrrrθz－时间；r－径向座标；z－轴向座标；θ－方位角；－各方向的速度分量。,,rzθuuuθ2.3柱坐标与球坐标系方程2.球坐标系2'2111()(sin)()0sinsinrθφρρruρuθρuθrrrθθrθφ－时间；r－径向座标；－方位角；θ－余纬度；－各方向的速度分量。,,rφθuuuθ例某一非稳态二维流场的速度分布为:242xuxyxuy22试证明该流场中的流体为不可压缩流体。0zuyuxuzyx由题设条件得2xux2yuy即0yuxuyx故该流体为不可压缩流体0zu3.1用应力表示的运动方程3.2牛顿型流体的本构方程3.3流体的运动方程3.4以动压力表示的运动方程3.5柱坐标及球坐标下的运动方程3运动方程P38牛顿第二定律：合外力动量变化速率动量守恒定律duMa=MdθF=拉格朗日方法在流场中选一微元系统（质量一定，体积和形状变化）uuuu3.1用应力表示的运动方程P383rdNov运动方程的推导：拉格朗日观点和牛顿第二运动定律（动量守恒定律）牛顿第二定律在流体微元上的表达式()dMdθuFDMDθuF=拉格朗日观点，M=常数微元系统dV，M=ρdV设某一时刻，微元系统的体积为dV=dxdydzDρdxdydzDθudF=DρDθudF=dVdzdxdy(2-25)作用在微元系统上的合外力微元系统内的动量变化速率方向xxxDudF=ρdxdydzDθ方向yyyDudF=ρdxdydzDθ方向zzzDudF=ρdxdydzDθdρdxdydzdθudF=dzdxdy微元作用上作用力的分析BsdddFFFzszdFddFBzFxBxsxdFdFdF质量力表面力yBysydFdFdF体积力质量力是指作用在流体元的每一质点上的力。质量力质量力场力惯性力外界力场对流体的作用力，如重力、电磁力等由于流体作不等速运动而产生，如流体作直线加速运动时所产生的惯性力，流体绕固定轴旋转时所产生的惯性离心力单位质量流体所受到的质量力称为单位质量力，它在数值上等于加速度，是一个向量单位质量力,,zxyBBBFmXFmYFmZ/BmFX，Y，Z的单位：N/kg=kg﹒m﹒s-2/kg=m/s2若流体只受到重力作用，且xoy为一水平面0XYZgBydFYρdxdydz因此，作用在微元系统的质量力为BzdFZρdxdydzBxdFXρdxdydz表面力（又称接触力或机械力）与流体元相接触的环境流体（有时可能是固体壁面）施加于该流体元上的力。表面力又称为机械力，与力所作用的面积成正比。作用在流体上的力表面力可分解为两个向量：一个与作用表面相切，称剪切力；一个与作用表面相垂直，称法向力；tddAtFnnddAF切向应力法向应力单位面积上的表面力称为表面应力。表面应力N/m2N/m2微元系统有6个表面，每个面上都与相邻的环境流体有表面力的作用，而每个力又可沿坐标方向分解为3个分量。dzdxdy再分解为：tτxyτ－平行于表面y向剪应力；－平行于表面z向剪应力。xzτ该表面力可分解为：τ现以微元微元系统的一个面（左面）为例分析：nxx=ττtτ—法向应力；—剪应力。现将x方向上微元系统的6个表面应力全部绘于图上方向：xxBxsxdFdFdFBxdFXρdxdydz[()][()][()]xxsxxxxxyxyxyxzxzxzxτdFτdxdydzτdydzxττdydxdzτdxdzyττdzdxdyτdxdyz()yxxxzxsxτττdFdxdydzxyzx方向z方向y方向用应力表示的运动方程：yxxxxzxτDuττρρXDθxyzyxyyyzyDuτττρρYDθxyzyzxzzzzττDuτρρZDθxyz(2-35)方程的分析：可以证明:xyyxττyzzyττxzzxττ变量数10：,(),(),()xyzxxyyzzxyyxyzzyxzzxu,u,u,τ,τ,τ,ττ已知量3：X,Y,Z方程数3+1：运动方程3个，连续性方程1个变量数方程数：方程无解原理：扭矩平衡P41对于三维流动系统，可以从理论上推导应力与形变速率之间的关系。()yxxyyxuuyx()yzyzzyuuyz()xzzxxzuuzx剪应力本构方程—描述应力与形变速率之间关系的方程P413.2牛顿型流体的本构方程yux牛顿粘性定律(2-42)223xxxupxu223yyyupyu223zzzupzu法向应力不仅有p还有uzuyuxuzyx∂∂+∂∂+∂∂(2-43)222222()()3yxxxxxzuDuuuuuupXDxxyzxxyz222222()()3yyyyyxzDuuuuuuupYDyxyzyxyz222222()()3yxzzzzzuuDuuuuupZDzxyzzxyz奈维－斯托克斯（Naviar-Stokes）方程3.3流体的运动方程P42※牛顿型流体:将本构方程代入用应力表示的运动方程，简化得(2-45)21()3BDρρpμμDθuFuufB适用条件:牛顿型流体的稳态或非稳态、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体的流动。奈维－斯托克斯（Naviar-Stokes）方程(2-45)21()3BDρρpμμDθuFuufB当流体不可压缩时0=u222222()xxxxDuuuupXDxxyz222222()yyyyDuuuupYDyxyz222222()zzzzDuuuupZDzxyz0zuyuxuzyx2BDρρpμDθuFufB(2-46)惯性力质量力压力粘性力2BDρρpμDθuFu（一）方程组的可解性P44（二）初始条件和边界条件理论上可解，理论上既适用于层流又适用于湍流初始条件（I.C.）：θ=0时，u=u(x,y,z),p=p(x,y,z)fB边界条件（B.C.）：（1）静止固面在静止固面上，由于流体具有粘性，u=0；（2）运动固面在运动固面上，流体应满足u流=u固；（3）自由表面通常的自由表面系指一个流动的液体暴露于气体（多为大气）中的部分界面。此时，在自由表面上满足),,,(0,0zyxjipijii上式表明，自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量为零（三）关于重力项的处理P45Xxpρ=∂∂SYypρ=∂∂SZzpρ=∂∂S欧拉平衡微分方程xpXs1ypYs1zpZs1ps：流体的静压力静止流体----以动压力表示