误差的合成与分配

误差合成与分配函数误差随机误差的合成系统误差的合成系统误差与随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定一、函数误差函数系统误差计算函数随机误差计算误差间的相关关系和相关系数一、函数误差由两个或多个误差值合并成一个误差值，叫作误差的合成.它是间接测量计算误差的基本方法。反过来，己知对一间接的被测量的要求，进而要确定具体测量时对直接测量参数的要求，这就是误差的分配或误差分解。误差的分配或误差分解是设计仪器和装置时不可缺少的步骤，即从仪器的总的精度要求出发，确定仪器各组成部分和环节(包括零件、部件和装调等)的精度要求。要解决误差的合成与分配问题，首先要明确总的合成误差和各单项误差之间的函数关系，再按它们之间的变量关系进行计算.这实际上就是由多元函数的各个自变量的增量综合求函数增量或做相反计算的问题一、函数误差间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测量的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题.一、函数误差函数系统误差计算在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且一般为多元函数，其表达式为：12(,,...)nyfxxx对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则上式的函数增量为：1212...nnfffdydxdxdxxxx若已知各个直接测量值的系统误差为：12,,,nxxx一、函数误差函数系统误差计算用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函数的系统误差：上式称为函数系统误差公式。1212...nnfffyxxxxxx(1,2,...,)ifinx为各个直接测量值的误差传递系数。一、函数误差函数系统误差计算若函数形式为线性公式：当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差也为各测量值系统误差之和。1122...nnyaxaxax112233...nnyaxaxaxax12...nyxxx则函数的系统误差为：时，则有：1ia一、函数误差函数系统误差计算在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关系为三角函数式，对于三角函数的系统误差，可按上述同样方法进行计算。若三角函数为：可得函数的系统误差：12(,,...,)nsinfxxx1212...nnfffsinxxxxxx一、函数误差函数系统误差计算在角度测量中，需要求得的误差不是三角函数误差，而是所求角度的误差.dsindsincosddcos用系统误差代替上式中相应的微分量,则有可得正弦函数的角度系统误差公式为：sincos1211211(...)nniiniffffxxxxcosxxxcosx一、函数误差函数系统误差计算shD例3-1用弓高弦长法间接测量最大直径D，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关系计算求得直径。如果：50,0.1500,1hmmhmmsmmsmm求测量结果。2sD=+h4h一、函数误差函数随机误差计算随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的,对于函数的随机误差,也是用函数的标准差来进行评定.因此,函数随机误差计算,就是研究函数y的标准差与各测量值标准差之间的关系。12(,,...)nyfxxx1212...nnfffdydxdxdxxxx1212...nnfffyxxxxxx12,,,nxxx函数：多元函数增量：随机误差：系统随机误差：一、函数误差函数随机误差计算为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：111121:,,...,Nxxxx221222:,,...,Nxxxx12:,,...,nnnnNxxxx一、函数误差函数随机误差计算N个函数值为：111211,,,nyfxxx212222,,,nyfxxx12,,,Nnnnnyfxxx一、函数误差函数随机误差计算函数随机误差为：11121112...nnfffyxxxxxx21222212...nnfffyxxxxxx1212...NNNnNnfffyxxxxxx一、函数误差函数随机误差计算将上面方程组中的每个方程平方得到：2222211111111...2nnijijnijffffyxxxxxxx2222221222211...2nnijijnijffffyxxxxxxx22222111...2nNNnNiNjNijnijffffyxxxxxxx一、函数误差函数随机误差计算将方程组中各方程相加，可得：2222222121111211222221222222221211,...(,...,)(,...,),...,(,...,)2()nNNnnnNnnNimjmijmijfyyyxxxxfxxxxfxxxxffxxx一、函数误差函数随机误差计算将方程两边同时除以N，可得2222222121211,...,2()yxxxnnnNimjmijmijfffxxxxffxxN定义1NimjmmijxxkNijijxixjKijijxixjk一、函数误差函数随机误差计算上式就是函数随机误差公式如果各测量值的随机误差是相互独立的，且N适当大时10NimjmmijxxkN2222222121211,...,2()yxxxnnnNijxjxjijmijfffxxxffxx一、函数误差函数随机误差计算令22222221212,...,yxxxnnfffxxx2222221212,...,yxxxnnfffxxxiifax则2222221122,...,yxxnxnaaa一、函数误差函数随机误差计算当各个测量值的随机误差为同一分布时，上式中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为:若22222211222,...,limylimxlimxnlinxaaa1ia22212,...,limylimxlimxlimxn22212,...,yxxxn函数的标准差:函数的极限误差:一、函数误差函数系统误差计算shD例3-1用弓高弦长法间接测量最大直径D，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关系计算求得直径。如果：limlim50,0.05500,0.1hshmmmmsmmmm求测量结果。2sD=+h4h一、函数误差误差间的相关各误差间的相关性对计算结果有直接影响。函数随机误差公式中的相关项反映了各随机误差相互间的线性关联对函数总误差的影响大小。2222221122,...,yxxnxnaaa12222222121...2nnyxxnxijijxixjijaaaaa1122...yxxnxnaaa0ij1ij一、函数误差误差间的相关通常所遇到的测量实践多属误差间线性无关或近似线性无关，但线性相关的也常见。所以当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值，此时两误差间具有确定的线性函数关系。当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是互不相关的情况。一、函数误差误差间的相关一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性关系。线性依赖关系是指在平均意义上的线性关系，即一个误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，而具有一定的随机性。一、函数误差误差间的相关相关系数两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。若两误差ξ与η之间的相关系数为ρ，根据相关系数定义，则有K:::K误差η的标准差误差ξ的标准差误差ξ与η之间的协方差一、函数误差误差间的相关根据概率可知，相关系数的取值范围是:11两误差正相关01两误差负相关10两误差完全正相关1两误差完全负相关1两误差不相关0一、函数误差误差间的相关确定两误差间的相关系数:1.直接判断法通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。2.试验观察和简略计算法（1）观察法用多组测量的对应值作图，将它与标准图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。ξηξηξηξηξηρ＝１ρ＝０.５ρ＝０ρ＝-１ρ＝-０.５一、函数误差误差间的相关（2）简单计算法(点阵计算法)(主要用于点数较多时)ξη13cosnnn1234nnnnnn1n２n３n４（3）直接计算法按相关系数的定义直接计算22()()()()iiii一、函数误差误差间的相关3、理论计算法有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。以上讨论了误差之间相关系数的各种求法.一般先在理论上探求，若达不到目的，对于数值小或一般性的误差间的相关系数可用直观判断法；对与数值大或重要的相关系数宜采用多组成对观测，并分别采用不同的计算方法。二、随机误差的合成标准差的合成随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。标准差的合成若有q个单项随机误差，它们的标准差分别为：这些误差传递系数是由测量的具体情况来确定的，例如对间接测量可按式（3-13）来求得，对直接测量则根据各个误差因素对测量结果的影响情况来确定。其相应的误差传递系数为：12,,,q12,,,qaaa二、随机误差的合成标准差的合成根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为211()2qqiiijijijiijaaa一般情况下各个误差互不相关，相关系数则有:0ij21()qiiia用标准差合成的优点：简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算总的标准差。二、随机误差的合成极限误差合成在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示。极限误差合成时，各单项极限误差应取同一置信概率，则按方和根法合成的总极限误差为。211()2qqiiijijijiijaaa一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按上式进行极限误差合成。应根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，先将误差转化为