多元函数积分学期末复习(考点)

一、二重积分二、三重积分三、曲线积分多元函数积分学四、曲面积分(,)Dfxyd(,,)fxyzdv(,)Lfxyds(,)(,)LPxydxQxydy(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdx(,,)ddRxyzxy第十章：重积分1、二重积分的概念、性质、及其几何意义2、计算：二重积熟练掌握分的计算xy型区域直角坐标系中选择适当的积分次序型区域3、三重积分的概念及计算：直角坐标系中柱面坐标系中r在极坐标系中：一种积分次序先后只需掌握坐标面投影法一、二重积分的概念和性质1．定义：01(,)lim(,)niiiiDfxydf2．几何意义：DdyxfV),()0),((yxf表示曲顶柱体的体积Dyxfz:),(:底顶性质：线性性质；可加性；;DDdxdy单调性；若(,),mfxyM(,)(,).DDfxydf估值性质：中值定理：则至少存在一点,使得(,)D设函数在闭区域上连续,),(yxfD(,).DDDmfxydM则1、二重积分(,)Dfxydxdy的值与（）A.函数f及变量、xy有关B.函数f及区域D有关，与、xy无关。2、设22:4Dxy的第一象限部分，估计22(441)Dxydxdy的值在（）之间。A.1,17B.0,16C.0,16D.,173、设(,)fxy是连续函数，且(0,0)fA，则222201lim(,)txytfxydxdyt。A积分中值定理4、设{(,)0,0,1}Dxyxyxy，则（）。A.23()()DDxydxydB.23()()DDxydxydC.23()()DDxydxydD.无法确定这两个积分的大小5、设区域(,,)1,1,1xyzxyz，则下列不等式正确的是（）A.0xdvB.()0xydvC.()0xyzdvD.(3)0xyzdv二、二重积分的计算方法1．利用直角坐标计算（1）X-型区域：)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf.)(2xy)(1xyxyoDab(2)过任一x∈[a,b],作垂直于x轴的直线穿过D的内部从D的下边界曲线)(1xy穿入—内层积分的下限从D的上边界曲线)(2xy穿出—内层积分的上限(1)确定积分区域D在x轴上的投影[a,b]定限步骤：（2）Y-型区域：.),(),()()(21yydcDdxyxfdydxdyyxfxyoD)(1yx)(2yxcd2．利用极坐标计算(,)Dfxydxdy21()()(cos,sin)dfrrdrrDo)(1r)(2r(2)(,),从D的边界曲线1()r穿入,从2()r穿出(1)确定D夹在哪两条射线之间，定出定限步骤：[,]过极点作一极角为的射线常见计算类型1.选择积分顺序原则：①能积分，②少分块解2sin,0DydxdyDyxxy例、计算其中由、、围成xyyx200sinydyydx20sin1yydy原式＝例、计算sin,Dxdxdyx其中D由2,yxyx所围.2yxyxxyo解：10Idx2sinxxxdyx10(1)sinxxdx1sin110sinxdxx2xxy1130sinydyxdx例、计算解：先确定积分区域xy1xxyo01:yD原1320sinxxdx3101[cos]3x1(1cos1)31yx10dx230sinxxdy2.交换积分顺序根据给出的积分上下限定出积分区域13.利用对称性简化计算要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用DdxdyyxfI),(（1）若D关于x轴对称，则0I12(,)DIfxydxdy当f(x,y)关于y为奇函数，当f(x,y)关于y为偶函数，（2）若D关于y轴对称，则0I当f(x,y)关于x为奇函数，222221(),1xyyxyIxdxdyy例.计算解：2221DDyxyIxdxdydxdyyx关于为奇函数，y关于为奇函数，0Dy关于轴对称，Dx关于轴对称，例、设()fu是连续函数，区域:11,22Dxy，1:01,02Dxy，则22()DIfxydxdy与1221()DIfxydxdy的关系为14II例.将D),(dyxf化为在极坐标系下的二次积分。1）xyo22422yxxyo4xyx4224）DD2200(cos,sin).dfrrrdr2201(cos,sin).dfrrrdr24cos20(cos,sin)dfrrrdr4.极坐标系下二重积分的定限xyo2222422yx2）1Dxyo4224xyy3）4sin00(cos,sin)dfrrrdrD2222()4,8,,2DxfdyDxyxxyxxyyx例、化成极坐标系下的二次积分：其中：由围成yx2yxxyo()Dxfdy8cos4coscos()sinfrdr4darctan2例．cos200(cos,sin)dfrrrdr（）。A．2100(,)yydxfxydyB．1100(,)dxfxyxdyC．1100(,)dxfxydyD．2100(,)xxdxfxydy例、计算224DIxydxdy，其中D：229xyxy32分析由于被积函数中含有绝对值,所以应首先在给定的积分区域内,求出的解析表达式，即去掉绝对值。224xy2D1D224Dxydxdy12DD1224()Dxydxdy222004()drrdr4122224()Dxydxdy232024()drrdr5.其它解：(,),DfxydxdyA设则：2211DDAxydxdydxdyA120012Adrdr132A23A例、221(,)((,)),Dfxyxyfxydxdy设，2:10Dyxy及围成,求(,)fxy。2212(,)(),3fxyxy则1121000()[0,1]1()()(1)()1xnnfxdxxyfydyyfydyn例、设函数在上连续，证明：证明：左边交换积分次序xyoyx11左边12()()nyxyfydx10dyx对积分变量来说是常数1101()|()1nyxydynfy1101()(1)1nfyydyn右边三、三重积分的计算方法1．利用直角坐标计算“坐标面投影”法(,,)fxyzdxdydz确定在xoy面上的投影区域D(1)定限步骤：作垂直于xoy面的直线，(,)xyDxyzoD),(1yxzz),(2yxzz),(yx从曲面1(,)zzxy穿入，从曲面2(,)zzxy穿出，(2)21(,)(,)(,,)zxyzxyDdxdyfxyzdz[(,,)d]ddfxyzzxy三、三重积分的计算方法（坐标面投影法）1．利用直角坐标计算(1)投影求积分域在xOy面上的投影区域Dxy;(2)定限vzyxfd),,(xyD),(1yxz),(2yxzxyzOS2S1Dxyz1(x,y)z2(穿越法)步骤：(,),xyxyDD过点作垂直于的直线1(,)zzxy从曲面穿入，2(,)zzxy从曲面穿出．其中为三个坐标例.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解:dddxxyz)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxx481面及平面＝120()xyxyDxdyzdxd例、化zyxzyxfIddd),,(为三次积分，其中由曲面222yxz及22xz围成.解:得在xOy面上的投影区域D：.122yx1º投影122yx22222xzyxz消去z2º定限22xz下顶：((0,0))或由点处函数值的大小确定222yxz上顶：(,,)ddIfxyzxydz11dx.d),,(22222xyxzzyxfy122yxDOx–112º定限22xz下顶：222yxz上顶：(,,)dfxyzzddDxy222xy22xdy21x21x2．利用柱面坐标计算(,,)fxyzdxdydz2211()(,)()(,)(cos,sin,)zrzrdrdrfrrzdz计算方法：三重积分的投影方法结合二重积分的极坐标运算其中为由例2.计算三重积分222(0)xyxy0,(0),0zzaay所围解:2drr22304cosd3a及平面2axyzod0dazz原式289a柱面2cosr成半圆柱体.222(0)xyxyDOxyDdrdr0adzz202cos0222,xyxDxy：r例、设是由曲面222zxy及2232zxy所围成的有界闭区域。试将(,,)fxyzdv分别化成直角坐标与柱面坐标下的三次积分。2222221132112(,,)xxyxxyIdxdyfxyzdz22222131001(cos)(sin)(cos,sin,)rrIddrfrrzrdz解：22:1Dxy直角坐标系：柱面坐标系：1、体积四、几何应用(2)dvVDdxdyyxfV.),(（1）以曲面(,)zfxy为顶、平面区域D为底的直柱体的体积为若立体是由曲面2(,)zxy与1(,)zxy所围成，立体在xoy面上的投影区域为D，且2(,)xy1(,)xy，则21[(,)(,)]DVxyxydxdy若曲面方程为：).,(yxfz曲面S的面积为;122dxdyAxyDyzxz2、曲面面积例、设曲顶柱体的顶曲面为221zxy，底为xoy面上圆域22:2Dxy，则该曲顶柱体的体积V__。221()DVdxyxdy222001()drrdr4例、求由三个平面0y,yx,1x所围成的柱体被平面0z及3xyz截得的立体的体积。3()DVxydxdy1003()xdxxydy1解：yxoyx1D22222zxyzxy例、求由与所围立体的体积。解：2222:2zxyxy积分域消1r用极坐标2222(,)2fxyxyxy被积函数：2222(2)Dvxyxydxdy21200(2)drrrdr24310112()|43rrr56xyzo例.计算双曲抛物面被柱面解:曲面在xOy面上投影为222:,DxyR则221ddxyDAzzxy221ddDxyxy2π200d1dRrrr3222π[(1)1)]3R所截出的面积A.zOxy注：常用二次曲面226zxy221zxy•旋转抛物面:22zxy•锥面:22zxy•球面221zxy()上半球面Ox