江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用

•常考问题8平面向量的线性运算及•综合应用[真题感悟][考题分析]1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．•2．两非零向量平行、垂直的充要条件•设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，•(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.•(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN→＝ON→－OM→(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．•5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．•6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．热点与突破热点一平面向量的线性运算【例1】(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析如图，DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.答案12[规律方法]在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE→用AB→，AC→表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．【训练1】(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1，则AB的长为________．解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE→＝FD→，∴BE→＝FD→＝AD→－12AB→，又AC→＝AD→＋AB→，∴AC→·BE→＝(AD→＋AB→)·(AD→－12AB→)＝－12AD→·AB→＋AD→·AB→－12＝＋12|AD→||AB→|·cos60°－12＝1＋12×12|AB→|－12|AB→|2＝1.∴12－|AB→||AB→|＝0，又|AB→|≠0，∴|AB→|＝12.答案12热点二平面向量的数量积【例2】(2013·苏州期中)已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|OA→|＝7，|OB→|＝5，则OP→·(OB→－OA→)的值为________．解析设AB的中点为C，则OP→·(OB→－OA→)＝(OC→＋CP→)·AB→＝OC→·AB→＝12(OA→＋OB→)·(OB→－OA→)＝12(|OB→|2－|OA→|2)＝12(25－49)＝－12.答案－12•[规律方法]求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【训练2】(2013·湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________．解析由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故由几何性质得12＋12－1≤|c|≤12＋12＋1，即2－1≤|c|≤2＋1.答案[2－1，2＋1]热点三平面向量与三角函数的综合【例3】(2013·南通调研)已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求sinx＋cosx3sinx－2cosx的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，3c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求fB＋π8的取值范围．解(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－13，∴sinx＋cosx3sinx－2cosx＝tanx＋13tanx－2＝－13＋13×－13－2＝－29.(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理，得3sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3，于是π6Bπ2.∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sinx＋cosx,2)·(sinx，－1)＝sin2x＋sinxcosx－2＝1－cos2x2＋12sin2x－2＝22sin2x－π4－32，∴fB＋π8＝22sin2B＋π8－π4－32＝22sin2B－32.由π6Bπ2得π32Bπ，∴0sin2B≤1，－3222sin2B－32≤22－32，即f(B＋π8)∈－32，22－32.•[规律方法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【训练3】(2013·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝2，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件得cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0απ，得0π－απ，又0βπ，故β＝π－α.则sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)当α＝5π6时，β＝π6.