第三部分 专题二 二、函数与导数

专题二二、函数与导数必记的概念、公式必会的规律、推论必懂的解题方法必纠的易错易混必做的保温训练返回返回二、函数与导数返回[必记的概念、公式]1．熟记五种常考函数的定义域(1)当f(x)为整式时，函数的定义域为R.(2)当f(x)为分式时，函数的定义域是使分母不为0的实数集合．(3)当f(x)为偶次方根时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合．(4)当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为大于0且不为1的实数集合．(5)当f(x)中会有tanx时，则应考虑x≠kπ＋π2(k∈Z)．返回2．指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(a＞0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图像关于直线y＝x对称返回解析式y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(a＞0且a≠1)奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数返回3．方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数的零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的存在性如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也是方程f(x)＝0的实数根．返回4．导数公式及运算法则(1)基本导数公式：C′＝0(C为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a0且a≠1)；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae(a0且a≠1)．(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．返回(3)复合函数的导数：[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)，如y＝sin2x有y′＝2cos2x.5．定积分与微积分基本定理(1)定积分的性质：①abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx；③abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b)．返回(2)微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)，为了方便，常将F(b)－F(a)记为F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．返回6．导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”．返回[必会的规律、推论]1．有关函数单调性和奇偶性的重要结论(1)f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．(2)当k＞0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相同；当k＜0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相反．(3)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．返回(5)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称．(6)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(7)函数f(x)与kf(x)，1fx(f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k为非零常数)．(8)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.返回(9)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．判断函数周期的几个重要结论(1)若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a.(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a.(3)若满足f(x＋a)＝1fx，则f(x)是周期函数，T＝2a.(4)若满足f(x＋a)＝1－fx，则f(x)是周期函数，T＝2a.返回(5)若函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称，且关于直线x＝b对称，则f(x)是周期函数，T＝2|b－a|(b≠a)．3．函数图像对称变换的相关结论(1)y＝f(x)的图像关于y轴对称的图像是函数y＝f(－x)的图像．(2)y＝f(x)的图像关于x轴对称的图像是函数y＝－f(x)的图像．(3)y＝f(x)的图像关于原点对称的图像是函数y＝－f(－x)的图像．(4)y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称的图像是函数y＝f－1(x)的图像．返回(5)y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称的图像是函数y＝f(2m－x)的图像．(6)y＝f(x)的图像关于直线y＝n对称的图像是函数y＝2n－f(x)的图像．(7)y＝f(x)的图像关于点(a，b)对称的图像是函数y＝2b－f(2a－x)的图像．4．函数图像平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图像沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图像(c为常数)．返回(2)把y＝f(x)的图像沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图像(b为常数)．5．函数图像伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图像．(2)把y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图像．返回[必懂的解题方法]1．利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x)；第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．返回2．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．3．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．返回4．求解恒成立问题的主要方法(1)分离参数法：当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其他变量完全分离开来，且分离后不等式另一边的函数(或代数式)的最值可求出时，应用分离参数法．(2)最值法：当不等式一边的函数(或代数式)的最值能够较容易地求出时，可直接求出这个最值(最值中可能需用参数表示)，然后建立关于参数的不等式求解．返回(3)数形结合法：如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图像、图形较易画出时，可通过图像、图形的位置关系建立不等式求得参数范围．(4)更换主元法：在问题所涉及的几个变量中，选择一个最有利于问题解决的变量作为主元进行求解．返回[必纠的易错易混]易错点1函数的单调性判断错误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法．对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．易错点2判断函数的奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．返回易错点3函数零点定理使用不当致误如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)＞0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．返回易错点4导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率．但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程．然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解．因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．返回易错点5导数与极值关系不清致误f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(x)在x0两侧异号．另外，已知极值点求参数时要进行检验．返回点击下列图片进入“必做的保温训练”[必做的保温训练]