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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 最新北师大版七年级数学下第二章相交线与平行线教案
12.1两条直线的位置关系第1课时对顶角、补角和余角1.理解并掌握对顶角的概念及性质,会用对顶角的性质解决一些实际问题;2.理解并掌握补角和余角的概念及性质,会运用其解决一些实际问题.(重点,难点)一、情境导入如图,若把剪刀看成是两条相交的直线构成的,那么形成的角中小于平角的角有几个,你能发现它们之间的联系吗?二、合作探究探究点一:对顶角及其性质【类型一】对顶角的概念下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是()变式训练:本课时练习第2题【类型二】直接运用对顶角的性质求角度如图,直线AB、CD,EF相交于点O,∠1=40°,∠BOC=110°,求∠2的度数.方法总结:两条相交直线构成对顶角,这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论.在图形中正确找到对顶角,利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系,然后结合已知条件进行转化.变式训练:本课时练习第3题探究点二:补角和余角【类型一】利用补角和余角计算求值已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.方法总结:此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程来解决.变式训练:本课时练习第6题【类型二】补角、余角和角平分线的综合计算如图,已知∠AOB在∠AOC内部,∠BOC=90°,OM、ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数.2方法总结:本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识,利用了补角的性质,角的和差,角平分线的性质进行计算,解决问题一定要结合图形认真分析,做到数形结合.变式训练:本课时练习第7题【类型三】补角和余角的性质如图,将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.(1)如图①,若CE是∠ACD的角平分线,那么CD是∠ECB的角平分线吗?并简述理由;(2)如图②,若∠ECD=α,CD在∠BCE的内部,请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等?并简述理由;(3)在(2)的条件下,请问∠ECD与∠ACB的和是多少?并简述理由.方法总结:此题主要查考了角的计算,关键是根据图形分清角之间的和差关系.变式训练:本课时练习第10题三、板书设计1.对顶角相等;2.同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等.本节课学习了对顶角及其性质.教学中可让学生自己画这些角,结合图形说出对顶角的特征.对顶角的识别是易错点,可以结合例题进行练习,让学生在学习中不断纠错,不断进步32.1两条直线的位置关系第2课时垂线1.理解并掌握垂线的概念及性质,了解点到直线的距离;2.能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.(重点,难点)一、情境导入如图是教室的一幅图片,黑板相邻两边的夹角等于多少度?这样的两条边所在的直线有什么位置关系?二、合作探究探究点一:垂线【类型一】运用垂线的概念求角度如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,∠BOE=∠NOE,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度数.方法总结:(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中,每一个角都等于90°;(2)在相交线中求角度,一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识.变式训练:本课时练习第2题【类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直如图所示,已知OA⊥OC于点O,∠AOB=∠COD.试判断OB和OD的位置关系,并说明理由.方法总结:由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角,反过来,由两条直线相交构成的角为直角,可得这两条直线互相垂直.判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.变式训练:本课时练习第3题探究点二:垂线的性质(垂线段最短)4如图所示,修一条路将A,B两村庄与公路MN连起来,怎样修才能使所修的公路最短?画出线路图,并说明理由.方法总结:与垂线段有关的作图,一般是过一点作已知直线的垂线,作图的依据是“垂线段最短”.变式训练:本课时练习第7题探究点三:点到直线的距离如图,AC⊥BC,AC=3,BC=4,AB=5.(1)试说出点A到直线BC的距离;点B到直线AC的距离;(2)点C到直线AB的距离是多少?方法总结:点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线,垂线段的长度才是这一点到直线的距离.变式训练:本课时练习第8题三、板书设计1.垂线的概念:两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.2.垂线的作法3.垂线的性质:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.本节课学习了垂线的概念和垂线的性质,垂直是相交的一种特殊情况,要说明两条相交线的位置关系,一般都是垂直.垂线的两条性质中,不要遗漏条件“在同一平面内”,以保证定理的精确性.对于垂线的概念和性质,要让学生理解记忆52.2探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两条直线平行1.理解并掌握同位角的概念,能够判定同位角并确定其个数;2.能够运用同位角相等判定两直线平行;(重点,难点)3.理解并掌握平行公理及其推论,能够运用其解决实际问题.一、情境导入数学来源于生活,生活中处处有数学,观察下面的图片,你发现了什么?以上的图片中都有直线平行,这将是我们这节课学习的内容.二、合作探究探究点一:同位角【类型一】判断同位角下列图形中,∠1和∠2不是同位角的是()方法总结:判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法:①把两个角在图中“描画”出来;②找到两个角的公共直线;③观察所描的角,判断所属“字母”类型是否为“F”型.变式训练:本课时练习第1题【类型二】数同位角的个数如图,直线l1,l2被l3所截,则同位角共有()A.1对B.2对C.3对D.4对方法总结:数同位角的个数时,应从各个方向逐一观察,避免重复或漏数.变式训练:本课时练习第2题6探究点二:利用同位角判定两直线平行如图,直线AB、CD分别与EF相交于点G、H,已知∠1=70°,∠2=70°,试说明:AB∥CD.方法总结:本题考查的是平行线的判定,熟知“同位角相等,两直线平行”是解答此题的关键.变式训练:本课时练习第5题探究点三:平行公理及其推论【类型一】应用平行公理及其推论进行判断有下列四种说法:(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;(2)同一平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直;(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;(4)平行于同一条直线的两条直线平行.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个方法总结:平行线公理和垂线的性质两者比较相近,特别注意,对于平行公理中,必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线,过直线上一点不能做已知直线的平行线.但垂线的性质中,无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线.变式训练:本课时练习第7题【类型二】应用平行公理进行推论论证四条直线a,b,c,d互不重合,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么直线a,d的位置关系为________.方法总结:平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据.变式训练:本课时练习第9题【类型三】平行公理推论的实际应用将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开,折痕为EF,把长方形ABEF平摊在桌面上,另一面CDFE无论怎样改变位置,总有CD∥AB存在,为什么?方法总结:利用平行公理的推论进行证明时,关键是找到与要证两条直线都平行的第三条直线进行说明.三、板书设计1.同位角的概念2.运用同位角判定两条直线平行:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.3.平行公理及其推论:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.解决几何题时,重在分析,应结合图形熟识题目给出的已知条件.本节课的易错点是学生对同位角的识别,对同位角个数的计算,应多加强练习,在不断纠错中提高72.2探索直线平行的条件第2课时利用内错角、同旁内角判定两条直线平行1.理解并掌握内错角和同旁内角的概念,能够识别内错角和同旁内角;2.能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行.(重点,难点)一、情境导入观察下列图形:猜想其中任意两条直线的位置关系,想想如何证明你的猜想.二、合作探究探究点一:内错角与同旁内角【类型一】判断内错角、同旁内角如图,下列说法错误的是()A.∠A与∠B是同旁内角B.∠3与∠1是同旁内角C.∠2与∠3是内错角D.∠1与∠2是同位角方法总结:在复杂的图形中判别三类角时,应从角的两边入手,具有上述关系的角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”型,内错角的边构成“Z”型,同旁内角的边构成“U”型.变式训练:本课时练习第3题【类型二】一个角的内错角、同旁内角不唯一的图形问题如图所示,直线DE与∠O的两边相交,则∠O的内错角是________,∠8的同旁内角是________.易错点拨:找某角的内错角、同旁内角时,应从各个方位观察,避免漏数.探究点二:利用内错角、同旁内角判定两条直线平行8【类型一】内错角相等,两直线平行如图所示,若∠ACE=∠BDF,那么CE∥DF吗?变式训练:本课时练习第7题【类型二】同旁内角互补,两直线平行如图,已知点E在AB上,且CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,且∠DEC=90°,试判断AD与BC的位置关系,并说明理由.方法总结:本题考查的是平行线的判定,熟知“同旁内角互补,两直线平行”是解答此题的关键.变式训练:本课时练习第6题【类型三】灵活运用判定方法判定平行如图,有以下四个条件:①∠B+∠BCD=180°,②∠1=∠2,③∠3=∠4,④∠B=5.其中能判定AB∥CD的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个变式训练:本课时练习第5题【类型四】平行线的判定的应用一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上行驶,那么两次拐弯的角度可能为()A.第一次右拐60°,第二次右拐120°B.第一次右拐60°,第二次右拐60°C.第一次右拐60°,第二次左拐120°D.第一次右拐60°,第二次左拐60°方法总结:利用数学知识解决实际问题,关键是将实际问题正确地转化为数学问题,即画出示意图或列式表示等,然后再解决数学问题,最后回归实际.变式训练:本课时练习第9题三、板书设计1.内错角和同旁内角的概念2.利用内错角、同旁内角判定两直线平行:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行;两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.平行线的判定是平行线内容的进一步拓展,是进一步学习平行线的有力工具,为学习平行线的性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础,在整个初中几何中占有非常重要的作用,是本章的重难点之一,更在整个初中教学的数学学习中占有举足轻重的作用.学生已经学了平行线的定义、平行公理,具备了探究直线平行的条件的基础,但学生在文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱,在逻辑思9维和合作交流的意识方面发展不够均衡2.3平行线的性质第1课时平行线的性质1.理解平行线的性质;(重点)2.能运用平行线的性质进行推理证明.(重点、难点)一、情境导入窗户的内窗的两条竖直的边是平行的,在推动过程中,两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系?二、合作探究探究点:平行线的性质【类型一】两直线平行,同位角相等如图,直线a,b与直线c,d相交,若∠1=∠2,∠3=70°,则∠4的度数是()A.35°B.70°C.90°D.110°方法总结:此题主要考查了平行线的判定方法与性质1,关键是掌握平行线的判定定理与性质定理,平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.变式训练:本课时练习第1题【类型二】两直线平行,内错角相等如图,∠A=∠D,如果∠B=20°,那么∠C为()A.40°B.20°C.60°D.70°10变式训练:本课时练习第4题【类型三】两直线平行,同旁内角互补如图,已知∠1=85°,∠2=95°,∠4=125°,则∠3的度数为()A.95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