八年级数学竞赛培训：图形的平移与旋转

八年级数学竞赛培训图形的平移与旋转一、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5分）如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=_________．2．（5分）（2002•河南）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=_________．3．（5分）如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB=_________．4．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长是_________．5．（5分）（2002•济南）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为_________cm2．26．（5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是_________．二、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）7．（3分）如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=n，BN=x，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而改变8．（3分）（2005•乌兰察布）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1B．C．1D．39．（3分）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①△PFA≌△PEB；②∠PFE=45°；③EF=AP；④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）（2009•临夏州）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2B．3C．D．11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则（）A．PA+PB+PC＜AB+ACB．PA+PB+PC＞AB+ACC．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC与AB+AC的大小关系不确定，与P点位置有关12．（3分）如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为（）4A．B．C．5D．6三、解答题（共11小题，满分72分）13．（5分）如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC﹣EF=ED﹣AB=AF﹣CD＞0，试判断该六边形的各角是否相等？若相等，请说明理由．14．（6分）如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1．15．（5分）如图所示，等边△ABC的边长a=，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2=PC2，若PC=5，求PA，PB的长．16．（9分）（2007•玉溪）正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD和FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移（其形状大小没有变化）．（所谓正方形的中心，是指正方形两条对角线的交点；两个正方形的公共点，是指两个正方形边的公共点）（1）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2=_________；（2）设计表格完成问题：随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的中心距的值或取值范围．517．（9分）（2002•河北）图形的操作过程：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_________，S2=_________，S3=_________．（3）联想与探索：如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少并说明你的猜想是正确的．18．（9分）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，可以说明：△ACN≌△MCB，从而得到结论：AN=BM．现要求：（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）在（1）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论的正确性．19．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE，连DE，求证：DE＞BC．620．（5分）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．21．（5分）如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离（与小河平行方向）120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米？22．（5分）如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ．①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形．②求证：△ABC与△A1B1C1公共部分的面积．723．（9分）（2008•旅顺口区）（1）操作：如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）思考：如图1，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为_________时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；如图3，当扇形纸板的圆心角为_________时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（直接填空）（3）探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_________度时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．8新课标八年级数学竞赛培训第29讲：图形的平移与旋转参考答案与试题解析一、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5分）如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=135°．考点：正方形的性质；旋转的性质．704299专题：计算题；转化思想．分析：通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APD．解答：解：把△PAB绕B点顺时针旋转90°，得△P′BC，则△PAB≌△P′BC，设PA=x，PB=2x，PC=3x，连PP′，得等腰直角△PBP′，PP′2=（2x）2+（2x）2=8x2，∠PP′B=45°．又PC2=PP′2+P′C2，得∠PP′C=90°．故∠APB=∠CP′B=45°+90°=135°．故答案为：135°．点评：本题考查的是正方形四边相等的性质，考查直角三角形中勾股定理的运用，把△PAB顺时针旋转90°使得A′与C点重合是解题的关键．2．（5分）（2002•河南）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=．9考点：正方形的性质；旋转的性质．704299分析：根据旋转不变性，可得BP=BP′，∠PBP′=90°，进而根据勾股定理可得PP′的值．解答：解：根据题意将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP'重合，结合旋转的性质可得BP=BP′，∠PBP′=90°，根据勾股定理，可得PP′==3；故答案为3．点评：此题考查了同学们的阅读分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力，根据旋转不变性，得到∠PBP′=90°，是解答此题的关键．3．（5分）如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB=150°．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．704299专题：计算题．分析：利用旋转的性质解题．将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DAB，根据旋转的性质可证△DBP为等边三角形，由勾股定理的逆定理可证△ADP是直角三角形，从而可求∠APB的度数．解答：解：将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DAB，∵BD=BP，∠DBP=∠ABC=60°，∴△BDP为等边三角形，∠DPB=60°，由旋转可知AD=PC=10，DP=BP=8，∵AP2+DP2=62+82=102=AD2，∴△ADP是直角三角形，∠APD=90°，∴∠APB=∠APD+∠DPB=150°．10点评：本题利用了旋转的性质解题．关键是根据AB=BC，∠ABC=60°，得出等边三角形，运用勾股定理逆定理得出直角三角形．4．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长是b﹣a．考点：梯形；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．704299专题：计算题．分析：延长AD，BC相交于E，根据平行线的性质以及已知中角的关系可知：∠ECD=∠AEB=∠ABC，即可求证得到：DE=CD，AB=BE，即可求解．解答：解：延长AD，BC相交于E．∵CD平行AB，∴∠ABC=∠DCE．∵∠ADC=∠AEB+∠ECD=2∠ABC=2∠ECD，∴∠ECD=∠AEB=∠ABC．∴CD=DE=AE﹣AD=AB﹣AD=b﹣a．故答案是：b﹣a．点评：平移腰，构造等腰三角形、平行四边形．注平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题设条件集中到同一三角形中来．115．（5分）（2002•济南）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为1.44cm2．考点：旋转的性质；勾股定理；相似三角形的性质．704299专题：压轴题．分析：根据△PSC∽△ABC，相似比PC：AC=2：4=1：2，可求S△PSC；已知PC、S△PSC，可求PS，从而可得PQ，CQ，再由△RQC∽△ABC，相似比为CQ：CB，利用面积比等于相似比的