2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形复习课件 新人教A版必修5

1解三角形单元复习一、[设计问题，创设情境]•问题一：以上我们学习了正弦定理、余弦定理及他们的应用，同学们回忆我们所学的基本知识，然后自己写出来。二、[信息交流，揭示规律]•问题2：应用正弦定理、余弦定理，我们可以解决三角形的哪几类问题？例题1在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°[解析]解法一：A中已知两角及一边有唯一解；B中已知两边及夹角，有唯一解；C中，bsinA＝8214，ab有两解；D中，A是最大角，但ac，所以无解．解法二：由a＝14，b＝16，A＝45°及正弦定理得，sinB16＝sin45°14，所以sinB＝427，因为ab，A＝45°，所以角B有两解．[答案]C三：[运用规律，解决问题]据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．常见具体方法有：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；另外要注意b2＋c2－a20⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a20⇔A为钝角．例题2：已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．[解]设方程的两根为x1、x2，由韦达定理知x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，由题意得bcosA＝acosB，根据余弦定理，得b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋c2－b22ac.∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，化简得a＝b，∴△ABC为等腰三角形．四、[变练演编，深化提高]再我们掌握了基本的解三角形之外，我们还可以应用它来解决实际应用问题，问题3：请同学们思考我们可以用正弦定理、余弦定理解决实际问题的那几类？解三角形应用题常见的几种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等．例题3：如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔顶A的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.[解]设AB＝x，∵AB垂直于地面，∴△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形，∴BM＝xtan30°＝3x，BN＝xtan45°＝x，BP＝xtan60°＝33x.在△MNB中，BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cos∠MNB，∴3x2＝250000＋x2－2×500x·cos∠MNB①在△PNB中，BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cos∠PNB，13x2＝250000＋x2－2×500x·cos∠PNB②又∵∠MNB与∠PNB互补，∴①＋②得，103x2＝500000＋2x2，∴x＝2506或x＝－2506(舍去)．所以塔高为2506m.例题4：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，且AC→·AB→＝4，求△ABC的面积S.[解]由已知得b2＋c2＝a2＋bc，∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∴cosA＝12，sinA＝32.由AC→·AB→＝4，得bccosA＝4，∴bc＝8.∴S＝12bcsinA＝23.五、[反思小结，观点提炼]•1.（1）两类正弦定理解三角形的问题：（2）两类余弦定理解三角形的问题：•2．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析；（2）建模；（3）求解；（4）检验。