11§ 8 多元函数微分法及其应用习题与答案

1第八章多元函数微分法及其应用A题1、填空题1）设22,yxyxf，22,yxyxg，则2,,yyxgf2）设yxfyxz，且当0y时，2xz，则z3）设yxyyxyxfarctanarctan,22，则yxf,04）设yaxxxz211，若已知：当0x时，2lneyz，则dz5）设yxfz,，由1345yzxzz所确定，则0,0'xf6）设2lnxyz，则在点1,1,10M的法线方程为7）曲面1232222zyx上点1,2,1处的切平面方程为8）设xzyxzyxf2,,，则zyxf,,在1,0,1沿方向kjil22的方向导数为2、下列函数的定义域并图示1)yxyxz112)221lnyxxxyz3)22arccosyxzu23、求下列各极限1)221,0,1limyxxyyx2)xyxyyx42lim0,0,3)yxyyxsinlim0,2,4、问函数xyxyz2222在何处间断.5、求下列函数的偏导数1)uvvus222)xyxyz2cossin33)yxztanln4)zyxu6、曲线4422yyxz在点5,4,2处的切线对于x轴的倾角是多少?7、设yxyxyxfarcsin1,，求1,xfx.8、求下列函数的22xz,22yz,yxz21)xyzarctan2)xyz49、求下列函数的全微分1)22yxyz2)yzxu10、求函数22yxxyz当2x，1y，01.0x，03.0y时的全增量和全微分.11、计算3393.102.1的近似值.12、已知边长为cmx6与cmy8的矩形，如果x边增加cm5而y边减少cm10，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？513、设vuzln2，而yxu，yxv23，求xz，yz.14、设yxzarcsin，而tx3，34ty，求dtdz.15、设12azyeuax，而xaysin，xzcos，求dxdu.16、求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）1)xyeyxfu,222)xyzxyxfu,,17、设yyxfxzcos,31，求xz，yz.618、设22yxfz，其中f就有二阶导数，求22xz，yxz2，22yz.19、求下列函数的22xz，yxz2，22yz（其中f具有二阶连续偏导数）1)yxxfz,2)yxufz,,，其中yxeu3)yxeyxfz,cos,sin20、设yzzxln，求xz及yz.721、设yxzz,由方程0,2xyzF确定，求dz.22、设zyxx,，zxyy,，zxzz,都是由方程0,,zyxF所确定的具有连续偏导数的函数，求xzzyyx.23、设zyxzyx3232sin2，计算yzxz.24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数1)设10222zyxzyx求dzdx，dzdy2)设vueyvuexuucossin求xu，yu，xv，yv825、求曲线mxy22，xmz2在点000,,zyx处的切线和法线方程.26、求出曲线tx，2ty，3tz上的点，使在该点的切线平行于平面42zyx.27、求椭球面12222zyx上平行于平面02zyx的切平面方程.28、求函数22yxz在点2,1处沿从点2,1到点32,2的方向的方向导数.29、求函数222zyxu沿曲线tx，2ty，3tz在点1,1,1处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.30、设zyxxyzyxzyxf62332,,222，求0,0,0gradf及1,1,1gradf.931、问函数zxyu2在点2,1,1P处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.32、求函数yyxeyxfx2,22的极值.33、求函数xyz在适合条件1yx下的极大值.34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a元，侧面造价为每平方米b元，现用A元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.35、要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.36、在平面xoy上求一点，使它到0x，0y及0162yx三直线的距离平方之和为最小.10B题1、填空题1)设xyyxz22arcsin，其定义域为2)设000sin,2xyxyxyyxyxf，则1,0xf3)已知函数22,yxyxyxfz，则yzxz4)函数zyxzyxf1,,，则1,1,1df5)yxf,在点yx,处可微分是yxf,在该点连续的的条件，yxf,在点yx,处连续是yxf,在该点可微分的的条件6)yxfz,在点yx,的偏导数xz及yz存在是yxf,在该点可微分的条件7)由方程2222zyxxyz所确定的函数yxzz,在点1,0,1处的全微分为8)设yxeuxsin，则yxu2在点1,2处的值为9)设yaxyxyfxz1，f，具有二阶连续导数，则yxz210)由曲线0122322zyx绕y轴旋转一周得到的旋转面在点2,3,0处的指向外侧的单位法向量为11)曲面4323232zyx上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为12)设222lnzyxu在点2,2,1M处的梯度Mgradu13)设xzyxzyxf2,,，则zyxf,,在1,0,1沿方向kjil22的方向11导数为2、求函数2221ln4,yxyxyxf的定义域，并求yxfyx,lim0,21,.3、证明：0lim220,0,yxxyyx.4、证明下列极限不存在1)222220,0,limyxyxyxyx2)4220,0,limyxxyyx5、求下列函数的偏导数1)yxyz12)nxeztkncos2123)xyyxeyxz22226、设000,2222222yxyxyxyxyxf，求yxfx,及yxfy,.7、设yxzarctan，而vux，vuy，验证：22vuvuvzuz.8、设uxFxyz，而xyu，uF为可导函数，证明：xyzyzyxzx.9、设22yxfyz，其中uf为可导函数，验证：211yzyzyxzx.1310、设f，g为连续可微函数，xyxfu,，xyxgv，求xvxu.11、设xyxgyxfz,2，其中函数tf二阶可导，vug,具有连续二阶偏导数，求yxz2.12、设yxfu,的所有二阶偏导数连续，而23tsx，23tsy，证明：2222tusuyuxu及22222222tusuyuxu.13、设vexucos，veyusin，uvz，试求xz和yz.14、在方程02222yuxu中，函数u具有二阶连续偏导数，令yxyx，求u以，为自变量的新方程.1415、设0xyzez，求22xz.16、设vu,具有连续偏导数，证明由方程0,bzcyazcx所确定的函数yxfz,，满足cyzxza.17、设yvxugvyvuxfu2,,，其中f，g具有一阶连续偏导数，求xu和xv.18、求曲线0453203222zyxxzyx在点1,1,1处的切线及法平面方程.19、试证曲面azyx0a上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为一常数.1520、求函数zyxu在球面1222zyx上点000,,zyx处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.21、设sin,cosl，求函数22,yxyxyxf在点1,1处沿方向l的方向导数，并分别确定角，使这个导数有：a)最大值b)最小值c)等于022、证明：曲面0,bzyazxF上任意点处的切平面与直线zbyax平行（a，b为常数）.23、求平面1222zcwybvxau的三截距之积在条件1222222cwbvau之下的最小值.24、经过31,1,2的所有的平面中，哪一个平面与坐标面围成的立体体积最小？最小体积是多少？1625、抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.C题1、讨论函数0,0,00,0,1sin,2222yxyxyxyxyxf在0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性.2、设yxyz1tan，求xz及yz.3、设yxzz,由方程zyfyxz,2所确定，求xz，yz及yxz2.4、设yxzz,由方程xyztdtexz22所确定，求xz，yz.5、设txfy,，而t是由方程0,,tyxF所确定的x，y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证明：tFyFtfxFtftFxfdxdy.6、设zyxfu,,，0,,2zexy，xysin，其中f，都具有一阶连续偏导数，且0x，求dxdu.7、设变换ayxvyxu2可把方程0622222yzyxzxz转化为02vuz，求常数a.8、求椭球面2132222zyx上某点M处的切平面的方程，使过已知直线L：172121326zyx.9、求函数22yxyxz在区域1yx的最大值，最小值.10、求旋转椭球面14222zyx在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.第八章多元函数微分法及其应用习题答案A1、填空题1)422422yyxx2）22yxy3）y4）dyyaxxdxyaxxayaxxdz2221212ln215）516）111111zyx7)0162812zyx8）352、下列函数的定义域并图示1）0,0,yxyxyx2）1,0,0,22yxxxyyx3）0,0,,22222yxzyxzyx3、1）12）413）24、02,2xyyx5、1）21uvvus,21vuuvs2）xyxyyxz2sincos,xyxyxyz2sincos3）yxyxz2csc2,yxyxyz2csc224）1zyxzyxu,xxzyuzyln1,xxz