大一高数上 PPT课件 第五章.

第五章定积分第一节定积分的概念与性质1.问题的提出2.定积分的定义3.定积分的性质1、求平面图形的面积一、问题的提出会求梯形的面积，曲边梯形的面积怎样求？考虑如下曲边梯形面积的求法。abxyo?A)(xfyabxyoabxyo思路：利用极限由近似到精确。一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似代替曲边梯形面积：y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi•在[a,b]中任意插入n-1个分点．记为•得n个小区间：[xi-1,xi](i=1,2,···,n)．•把曲边梯形分成n个窄曲边梯形．•任取xi[xi-1，xi],以f(xi)xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积．•区间[xi-1,xi]的长度xixi-xi-1．•曲边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(x．0121,nnaxxxxxb-•记max{x1,x2，···,xn}．则•曲边梯形的面积的精确值为：A=•曲边梯形的面积近似为：A．niiixf1)(x．niiixf10)(limxy=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi•在[a,b]中任意插入n-1个分点．•得n个小区间：[xi-1,xi](i=1,2,···,n)．•区间[xi-1,xi]的长度xixi-xi-1．2、求变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的近似，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割：212101TtttttTnn-1--iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度iinitvs)(1},,,max{21nttt记iniitvs)(lim10路程的精确值（2）求和：（3）取极限：8/29问题以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线y=f(x)为曲边，以[a,b]为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时间区间[a,b]所走过的路程.归纳它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）.解决方法：通过局部取近似,求和取极限的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限.类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）.这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念.二、定积分的定义设函数f(x)在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入n-1个分点ax0x1x2···xn-1xnb，把区间[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，[x1，x2]，···，[xn-1，xn]，各小段区间的长依次为x1x1-x0，x2x2-x1，···，xnxn-xn-1．任取xi[xi-1，xi](i1，2，···，n)，作函数值f(xi)与小区间长度xi的乘积f(xi)xi(i1，2，···，n)，并作出和S=．niiixf1)(x记max{x1,x2,···,xn}.baIdxxf)(iinixf)(lim10x被积函数被积表达式积分变量.],[积分区间——ba也不论在小区间],[1iixx-上点xi怎样的取法，只要，总有S趋于确定的极限I，就称f在[a,b]上可积，并称I为f在[a,b]上的定积分，记为积分上限积分下限积分和如果不论对[a,b]怎样的分法，，dxxfba)(即注：（1）积分仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和xi的取法是任意的.而与积分变量的字母的选择无关.baIdxxf)(iinixf)(lim10x根据定积分的定义，曲边梯形的面积为变速直线运动的路程为A，dxxfba)(dttvTT)(21．SdttvTT)(21．S当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在三、存在定理区间],[ba上可积.定积分的几何意义：在区间[a，b]上，当f(x)0时，积分在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积；bay=f(x)xyO，dxxfba)(，dxxfba)(当f(x)0时，由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOy=-f(x)bay=f(x)定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值：iniixf-10)]([limxdxxfSba)]([--S，dxxfba)(-．niiixf10)(limxdxxfSba)]([--，dxxfba)(．积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(--几何意义：例1利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx-的长度nxi1，(ni,,2,1)取iixx，(ni,,2,1)iinixf)(1xiinix21x,12iniixxnnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nn0ndxx102iinix210limxnnn121161lim.31练习利用定义计算定积分10dxex解xexf)(在[0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积.将[0,1]n等分，左侧取点nxniii1,1-xniief1)(-x][1)(12101nnnniniieeeenxf-x等比数列求和nnneen111)(11--11)1(1--neneniiixf10)(limx11)1(lim1--nnene1-e利用几何意义求定积分：例2求积分解以y=1-x为曲边，以区间[0,1]为底的曲边梯形为一直角三角形，21其面积为．所以21．xy=1-xyO11-10)1(dxx．-10)1(dxx．四、定积分的性质补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，-abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质2性质1与2合为（定）积分的线性性质:.)()()]()([bababadxxghdxxfkdxxhgxkf（k、h为常数).badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(-cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf则对bca，有性质3（关于积分区间的可加性）*例若补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,dxba1dxbaab-.则0)(dxxfba.性质4如果在区间],[ba上0)(xf，推论1（比较定理）则dxxfba)(dxxgba)(.如果在区间],[ba上)()(xgxf，dxxfba)(dxxfba)(.)(ba性质5（保号性）推论2如果在区间[a,b]上f(x)1,则例3比较积分值dxex-20和dxx-20的大小.解,xex]0,2[-xdxex-02,02dxx-于是dxex-20.20dxx-设M及m分别是f在[a,b]上的最大值及最小值，（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba--.性质6（估值不等式）例4估计dxx03sin31的值.解,],0[时当x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba-)(1)()()(abMdxxfabmba--由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点x，使dxxfba)())((abf-x.)(bax性质7（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点x，使,)(1)(-xbadxxfabfdxxfba)())((abf-x.即在区间],[ba上至少存在一个点x，积分中值公式的几何解释：xyoabx)(xf使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(xf的一个矩形的面积。思考题由)()(xgxf在],[ba上可积，能断言)(),(xgxf在],[ba上都可积吗？为无理数，为有理数xxxf0,1)(为无理数，为有理数xxxg1,0)(显然)()(xgxf在]1,0[上可积，但)(),(xgxf在]1,0[上都不可积。例不能